2 esercizi di probabilità

[stelladinatale1]

Salve a tutti, sto svolgendo degli esercizi ma incontro dei problemi

1) Sia $\{X_n\}_n$ una successione di v.a. indipendenti uniformi su $[0,1]$
Sia $Z_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nsin(2\pi X_k)$
mostrare che la successione $Z_n$ converge in probabilità e determinarne il limite.

2) Sia $\{X_n\}_n$ una successione di v.a. indipendenti di distribuzione Gaussiana di media $0$ e varianza $1$
Mostrare che la successione $S_n=\frac{1}{\sqrt{n}}(X_1^3+\ldotsX_n^3)$ converge in legge e determinarne il limite.





Nel secondo esercizio avevo pensato di applicare il teorema del limite centrale, ma non riesco a calcolare $\mathbb{E}(X_i^3)$ e $var(X_i^3)$.

Nel primo esercizio avevo pensato ,invece, di applicare la legge dei grandi numeri forte.
Ho calcolato $\mathbb{E}(sin(2\piX_k))=\frac{1}{\pi}$ e $var(sin(2\piX_k))$ che è sicuramente finita.
Quindi posso applicare la legge dei grandi numeri forte e concludere che converge a $\frac{1}{\pi}$ con probabilità $1$.
Giusto?

[retrocomputer]

"stelladinatale":
Nel secondo esercizio avevo pensato di applicare il teorema del limite centrale, ma non riesco a calcolare $\mathbb{E}(X_i^3)$ e $var(X_i^3)$.

Può servire sapere che $x^3e^{-{x^2}/2}$ è una funzione dispari?

[stelladinatale1]

Si hai perfettamente ragione.
Siccome quella è una funzione dispari ho che $\mathbb{E}(X_i^3)=0$. Non riesco però a calcolare la varianza.
Grazie dell'aiuto.