2 Domande teoriche da dimostrare

[Rigel1996]

Potete aiutarmi a dimostrare queste due domande?
1.Provare che in una passeggiata aleatoria non simmetrica, con probabilita’ 1 vi sono solo un numero finito di ritorni all’origine. Spiegare il metodo e gli strumenti utilizzati.

2.Siano X,Y variabile aleatorie indipendenti di Poisson di parametri, λ,µ rispettivamente. Provare che X+Y e’ di Poisson e callolarne il parametro.

[Lo_zio_Tom]

Visto il numero di regole infrante nel messaggio dall'OP, il topic sarebbe da chiudere ma, in considerazione del fatto che il quesito 1) lo ritengo decisamente interessante e non presente (a mia memoria) in altri topic del forum, ho deciso di mostrarne la soluzione.

Il quesito 2) è banale e si risolve in un passaggio con l'utilizzo della MGF e le sue proprietà (oltretutto è un quesito postato decine di volte)

Partiamo quindi dalla passeggiata aleatoria. Immagino che il quesito sia riferito ad una passeggiata aleatoria unidimensionale.

In tale caso, ritornare all'origine significa fare $h$ passi a sinistra (a destra) su $2h$ passi totali. Formalmente, usando la distribuzione binomiale, otteniamo:

$P[S_n=0]=P[Z_n]=((2h),(h))(pq)^h$

con $q=(1-p)$

Per provare che, con probabilità 1, il numero di ritorni all'origine è finito, conviene provare che, con probabilità zero, il numero di ritorni all'origine è $oo$; in termini formali:

$P["limsup"_(nrarroo) Z_n]=0$

Ora, per il teorema di Borel Cantelli, condizione sufficiente affinché tale probabilità sia nulla è che la serie

$sum_(n in NN)P[Z_n]

Per verificare la convergenza della serie utilizziamo il criterio del rapporto, ovvero verifichiamo che $lim_(n rarr oo)(a_(n+1))/(a_n)<1$

$lim_(h rarr oo)( ((2(h+1)),(h+1))(pq)^(h+1))/( ((2h),(h))(pq)^h)=((2h+2)!h!h!)/((h+1)!(h+1)!(2h)!)pq=((2h+2)(2h+1))/((h+1)(h+1))pq=(4h^2+...)/(h^2+...)pq=4pq$

Abbiamo finito....

Infatti, dato che per ipotesi la passeggiata è asimmetrica, si ha che $p != q$ e quindi $pq<1/4$ e dunque $4pq<1$ che dimostra l'asserto.

Spero che questa dimostrazione possa essere utile ai lettori del forum.

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[Bokonon]

Questo post mi è piaciuto assai, grazie Tommik!