Zeri di una funzione di variabile complessa
Consideriamo la serie armonica generalizzata
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^x}$
che converge, per $x>1$ ad una funzione che si può mostrare essere $C^\infty$ nell'intervallo di convergenza.
Tale funzione la si può estendere al piano complesso - tralasciando qualche dettaglio tecnico - nel seguente modo
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^s}$
che converge per $Re(s)>1$ dove $Re(s)$ è la parte reale di $s= \sigma + it \in \CC$ (quindi $Re(s)=\sigma$).
Tale serie, dove converge, converge ad una funzione olomorfa che si indica, generalmente, con la lettera greca $\zeta$, dunque
$\zeta(s)=\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^s}$
definita, appunto, per $Re(s)>1$.
Ora, grazie alla formula della somma di Eulero si può mostrare che
$\zeta(s)= \frac{1}{s-1}- s \int_1^t \frac{t-[t]}{t^(s+1)} dt+1$
che vale anche per $Re(s)>0$ (a parte la singolarità in $s=1$ che corrisponde alla divergenza della serie armonica semplice).
Inoltre si può prolungare analiticamente tale funzione a tutto il piano complesso: la forma migliore è sotto forma di equazione funzionale
$\zeta(s)= 2 \Gamma(1-s)(2\pi)^(s-1) sin(\pi s/2) \zeta(1-s)$
che consente di calcolare il valore di $\zeta(s)$ a partire da quello di $\zeta(1-s)$ (con $Re(s)<0$).
E' tuttavia più utilizzata la seguente forma (che si ottiene da questa mediante qualche semplice sostituzione)
$\zeta(1-s)= 2 \Gamma(s) (2\pi)^(-s) sin(\frac{\pi(1-s)}{2}) \zeta(s)$
che però vale per $Re(s)>0$.
Tale funzione estesa a tutto il piano complesso ha infiniti zeri in corrispondenza degli interi negativi pari dovuti all'annullamento della funzione seno al secondo membro (basta porre $s= 2n+1$ sull'ultima formula): diciamo che questi non ci interessano.
Si può dimostrare - ma diamolo per buono - che oltre questi ne ha infiniti non dovuti a motivucci banali come un seno nullo: dimostrare che tutti questi zeri sono in corrispondenza della retta $Re(s)=1/2$.
1.
Per chi sa di cosa parlo
2.
Hint: per chi non sa di cosa parlo
3.
Spoiler da aprire solo se si è capito qualcosa (e quindi si è aperto almeno uno degli altri 2).
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^x}$
che converge, per $x>1$ ad una funzione che si può mostrare essere $C^\infty$ nell'intervallo di convergenza.
Tale funzione la si può estendere al piano complesso - tralasciando qualche dettaglio tecnico - nel seguente modo
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^s}$
che converge per $Re(s)>1$ dove $Re(s)$ è la parte reale di $s= \sigma + it \in \CC$ (quindi $Re(s)=\sigma$).
Tale serie, dove converge, converge ad una funzione olomorfa che si indica, generalmente, con la lettera greca $\zeta$, dunque
$\zeta(s)=\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^s}$
definita, appunto, per $Re(s)>1$.
Ora, grazie alla formula della somma di Eulero si può mostrare che
$\zeta(s)= \frac{1}{s-1}- s \int_1^t \frac{t-[t]}{t^(s+1)} dt+1$
che vale anche per $Re(s)>0$ (a parte la singolarità in $s=1$ che corrisponde alla divergenza della serie armonica semplice).
Inoltre si può prolungare analiticamente tale funzione a tutto il piano complesso: la forma migliore è sotto forma di equazione funzionale
$\zeta(s)= 2 \Gamma(1-s)(2\pi)^(s-1) sin(\pi s/2) \zeta(1-s)$
che consente di calcolare il valore di $\zeta(s)$ a partire da quello di $\zeta(1-s)$ (con $Re(s)<0$).
E' tuttavia più utilizzata la seguente forma (che si ottiene da questa mediante qualche semplice sostituzione)
$\zeta(1-s)= 2 \Gamma(s) (2\pi)^(-s) sin(\frac{\pi(1-s)}{2}) \zeta(s)$
che però vale per $Re(s)>0$.
Tale funzione estesa a tutto il piano complesso ha infiniti zeri in corrispondenza degli interi negativi pari dovuti all'annullamento della funzione seno al secondo membro (basta porre $s= 2n+1$ sull'ultima formula): diciamo che questi non ci interessano.
Si può dimostrare - ma diamolo per buono - che oltre questi ne ha infiniti non dovuti a motivucci banali come un seno nullo: dimostrare che tutti questi zeri sono in corrispondenza della retta $Re(s)=1/2$.
1.
Per chi sa di cosa parlo
2.
Hint: per chi non sa di cosa parlo
3.
Spoiler da aprire solo se si è capito qualcosa (e quindi si è aperto almeno uno degli altri 2).
Risposte
Hahaha ho letto i primi tre righi e ho capito cosa avevi in mente 
"Pianoth":[ot]Dici che non ci cascherà nessuno? Come ho detto qui avevo in mente altro ma stamattina non ho fatto in tempo.
Hahaha ho letto i primi tre righi e ho capito cosa avevi in mente
[size=80]Ieri avevo scritto tutto questo messaggio e l'avevo salvato nelle bozze dei messaggi privati e ora l'ho incollato...[/size]
[/ot]
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