Un...modesto esercizio di algebra

[Sk_Anonymous]

Si consideri l'equazione :
$x^4-3x^3+4x^2-2x+1=0$
Si calcoli il valore esatto dell'espressione :
$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4$
dove $x_1,x_2,x_3,x_4$ sono le radici dell'equazione.

[ciampax]

Scusate, non ho tempo di scrivere tutto nel dettaglio, ma io farei così.

Prima di tutto, osservare che
$$\sum_{i=1}^4 x_i^4=3\sum_{i=1}^4 x_i^3-4\sum_{i=1}+2\sum_{i=1}^4-4$$
a causa del fatto che le $x_i$ sono radici. Dpodiché dimostrare (o ricordare) che le somme $\sum_{i=1}^4 x_i^k$, per $k\in NN$, si possono esprimere come combinazioni delle seguenti somme
$$\sum_{i=1}^4 x_i,\quad \sum_{i e che queste somme corrispondono, rispettivamente, ai coefficienti dei termini di terzo, secondo e primo grado, a meno di segni, del polinomio. Alla fine verrà fuori una combinazione di termini dipendenti da tali coefficienti, che permette di calcolare il risultato della somma che, se non ho fatto errori stupidi con qualche segno (ma ho fatto i calcoli di fretta) dovrebbe dare $13$.