Un'equazione di Mordell facile e un'altra meno facile ;)

[j18eos]

Soft!
Dimostrare che l'unica soluzione a valori interi dell'equazione \(\displaystyle x^3-y^2-1=0\) è \(\displaystyle(1,0)\).

Hard!
...e che succederebbe se si considerasse "la gemella diversa" \(\displaystyle x^3-y^2+1=0\)?

Auguri per i miei 7k messaggi!

[totissimus]

Soft

L'equazione $x^{3}-y^{2}-1=0$ ha soluzioni reali per $x>0$

$y^{2}=x^{3}-1$

$y^{2}=(x-1)(x^{2}+x+1)$

Supponiamo che esista una soluzione intera $x>1$.

Sia $p$ un un numero primo tale che $p|x-1$ e$p|x^{2}+x+1$

$x+x+1=(x-1)^{2}+3x+1$ quindi

$p|x-1$ e $p|3x+1$ quindi

$p|3x+1-3(x-1)$

$p|4$

Dunque $p=2$ oppure $p=1$

Se $p=2$ allora $x$ è dispari e quindi anche $x^{2}+x+1$ è dispari , assurdo in
quanto $p|x^{2}+x+1$

Dunque deve essere $p=1$

$x-1$ e $x^{2}+x+1$ sono coprimi e quindi necessariamente

$x-1=u^{2}$ e $x^{2}+x+1=v^{2}$ con $u,v$ non negativi

$x+1=v^{2}-x^{2}$

$x+1=(v+x)(v-x)$

$x+1,v+x,v-x$ sono interi non negativi quindi

$x+1\geq v+x$

$1\geq v\geq0$

Non può essere $v=0$ perchè l'equazione $x^{2}+x+1=v=0$ non ha soluzioni
intere

Per $v=1$ abbiamo

$x^{2}+x+1=1$

$x(x+1)=0$ imposssibile perchè abbiamo supposto $x>1$

In conclusione l'equazione può avere soluzioni intere solo per $x=1$
e di conseguenza $y=0$

[j18eos]

"totissimus":[...]Dunque deve essere $ p=1 $

$ x-1 $ e $ x^{2}+x+1 $ sono coprimi e quindi necessariamente

$ x-1=u^{2} $ e $ x^{2}+x+1=v^{2} $ con $ u,v $ non negativi[...]

Perché \(u\) e \(v\) devono essere non negativi? Mi sfugge il motivo!

...poi \(1\) non può essere un numero primo! Casomai arrivi a concludere che quei fattori devono essere coprimi.

[totissimus]

@j1820s

$u^2=(-u)^2$

1 non è un numero primo, ma l'unico primo che divide i due fattori è solo 2, se non sono divisibli per 2
allora l'unico divisore comune è 1

[j18eos]

Ora mi trovo, e capisco cosa hai voluto esprimere.

"totissimus":@j1820s[...]

No comment!

[qualcuno4]

Le soluzioni della hard sono sono $(-1,0),(0,-1),(0,1)$

[kilogrammo1]

@qualcuno Anche a me vengono le stesse soluzioni

[j18eos]

@qualcuno & kilogrammo Mi fa piacere; ma a meno che non ve le abbia portare la cicogna (o l'avvoltoio), come "vi sono venute"?[ot]Spero che la battuta non abbia offesa\o nessuna\o! [/ot]

[qualcuno4]

@j18eos ho fatto gli stessi passaggi di totissimus, quasi un copia e incola.
Battuta simpatica

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"totissimus":Sia $p$ un un numero primo tale che $p|x-1$ e$p|x^{2}+x+1$

Che dici di $p=3$? Se $x$ è congruo a $1$ modulo $3$ allora sia $x-1$ che $x^2+x+1$ sono divisibili per $3$.

[j18eos]

Inoltre questa identità è falsa!

"totissimus":[...]$x^2+x+1=(x-1)^{2}+3x+1$[...]

Mi sembrava una soluzione troppo facile... mi scuso che mi sia sfuggito questo dettaglio!

[totissimus]

Equazione facile

$y^{2}=x^{3}-1$ ,$x,y\in\mathbb{N}$

Poniamo $x=1+u$ con $u>0$,$u\in\mathbb{N}$

$y^{2}=(1+u)^{3}-1$

$y^{2}=u^{3}+3u^{2}+3u+1-1$

$y^{2}=u(u^{2}+3u+3)$

$u|y$ quindi $y=ut$ , con $t\in\mathbb{N}$

$u^{2}t^{2}=u(u^{2}+3u+3)$

$ut^{2}=u^{2}+3u+3$

$u(t^{2}-u-3)=3$

$u|3$ quindi $u=1$ oppure $u=3$

Per $u=1$ si ha

$t^{2}-1-3=3$

$t^{2}=7$ Impossibile

Per $u=3$sia ha

$t^{2}-3-3=1$

$t^{2}=7$ Impossibile

L'equazione $y^{2}=x^{3}-1$ non ammette soluzioni intere con $x>1$

[j18eos]

Bel trucco