Una serie particolarissima

[Erasmus_First]

Sia $k$ intero positivo e sia $ζ(2k)$ la serie:
$ζ(2k)= 1 + 1/2^(2k)+1/3^(2k)+ 1/4^(2k) + 1/5^(2k) + 1/6^(2k) +1/7^(2k)+ ...$

E noto che per qualunque $k$ intero positivo si ha $ζ(2k)= r_(2k)·π^(2k)$ con $r_(2k)$ razionale.
In particolare:
$ζ(2) = 1/6π^2$; $ζ(4) = 1/90π^4$; $ζ(6) = 1/945π^6$; $ζ(8) = 1/9450π^8$; $ζ(10) = 1/93555π^10$;
$ζ(12) = 691/638512875π^12$; $ζ(14) = 2/18243225π^14$; $ζ(16) = 3617/325641566250π^16$
e in generale:
$r(2k) = α_(2k-1)/(2·(2^(2k)-1)(2k-1)!)$ dove $α_(2k-1)$ è la derivata (2k-1)-esima di $tan(x)$ in $x = 0$.
[NB: Siccome $ζ(2k)$ tende ad 1 al tendere di $k$ a $+∞$, $1/(r(2k))$ approssima sempre meglio $π^(2k)$ al crescere di $k$.]

Posto:
$S_ζ = r(2) + r(4) + r(6) + r(8) + r(10) + r(12) + ...$,
dimostrare che:
$S_ζ = (1 - 1/tan(1))/2$
Ossia:
Dimosrtrare che
$S_ζ$ = <Sommatoria, per k da $1$ a $+∞$, di $1/π^(2k)ζ(2k)$> $=$ $[sin(1) – cos(1)]/(2sin(1)$.
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[Erasmus_First]

"Erasmus_First":[...]
$ζ(2k)= 1 + 1/2^(2k)+1/3^(2k)+ 1/4^(2k) + 1/5^(2k) + 1/6^(2k) +1/7^(2k)+ ...$
[...]
Dimosrtrare che
$S_ζ$ = <Sommatoria, per k da $1$ a $+∞$, di $1/π^(2k)ζ(2k)$> $=$ $[sin(1) – cos(1)]/(2sin(1)$.

Sia $a$ un complesso con $|a|< 1$ e sia $n$ un intero positivo.
Allora la frazione $1/(n^2 - a^2)$ è sviluppabile in serie di potenze di $n^2$ come segue:
$1/(n^2 - a^2) =(1/n^2)/(1-a^2/n^2) =1/n^2 + a^2/n^4 + a^4/n^6 + a^6/n^8 + a^8/n^10 + ...$, ossia:
$1/(n^2 - a^2) =$ <Sommatoria, per k da 0 a $+∞$, di $a^(2k)/(n^(2(k+1)))$>

Con ciò, la serie
$S = 1/(1-a^2) + 1/(2^2 - a^2) + 1/(3^2 - a^2) +1/(4^2 - a^2) + ...$,
ossia:
$S = $ <Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di $1/(n^2 - a^2)$>,
diventa:
$S = $ <Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di <Sommatoria, per k da 0 a $+∞$, di $a^(2k)/(n^(2(k+1)))$>>.

Da qui, commutando le sommatorie, ricaviamo anche:
$S = $ <Sommatoria, per k da 0 a $+∞$, di <Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di $a^(2k)/(n^(2(k+1)))$>> $=$
$=$ <Sommatoria, per k da 0 a $+∞$, di $a^(2k)$·<Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di $1/(n^(2(k+1)))$>> $=$

$=$ <Sommatoria, per k da 0 a $+∞$, di $a^(2k)·ζ(2k+2))$> $= ζ(2)+ a^2ζ(4)+ a^4ζ(6)+ a^6ζ(8)+...$.

Ricordando la definizione della serie $S$, abbiamo trovato la seguente identità (valida per $a$ tale che sia $|a| < 1$):
<Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di $1/(n^2 - a^2)$> $=ζ(2)+ a^2ζ(4)+ a^4ζ(6)+ a^6ζ(8)+ a^8ζ(10) +...$ (*)

In particolare, per $a = 1/π$ abbiamo:
<Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di $π^2/((nπ)^2 - 1)$> $= ζ(2)+ 1/π^2ζ(4)+ 1/π^4ζ(6)+ 1/π^6ζ(8)+... $, ossia:
<Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di $1/((nπ)^2 - 1)$> $= 1/π^2ζ(2)+ 1/π^4ζ(4)+ 1/π^6ζ(6)+ 1/π^8ζ(8)+... = S_ζ$.

[size=120]La tesi da dimostrare equivale dunque a quest'altra:
<Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di $1/((nπ)^2 - 1)$> $= (1- 1/tan(1))/2$. (**)[/size]
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Riprendendo la serie $S =$ <Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di $1/(n^2 - a^2)$>
nel campo complesso, [indicando con $j$ l'unità immaginaria], se al posto di $a$ mettiamo $jb$ otteniamo l'identità (valida per $b$ tale che sia $|b| < 1$):
<Sommatoria, per n da 1 a $+∞$, di $1/(n^2 + b^2)$> $=$
$=ζ(2)- b^2ζ(4)+ b^4ζ(6)- b^6ζ(8)+ ... +(-1)^kb^(2k)· ζ(2k+2)+...$ (***)

Consideriamo ora la funzione $h(x) = 1/(x^2 + b^2)$. Essa è "pari", ossia $h(x) = h(-x)$, ed "impulsiva", nel senso che è integrabile in ogni intervallo ed è finito il suo integrale da $-∞$ a $+∞$.
Con questa possiamo costruire allora la funzione periodica di periodo $X$
$F(x, b, X) = $ <Sommatoria, per n da $-∞$ a $+∞$, di $h(x+nX)$> $=$
$=$ <Sommatoria, per n da $-∞$ a $+∞$, di $1/((x+nX)^2+b^2)$>.
E' facile trovare lo sviluppo in serie di Fourier di questa funzione periodica $F(x, b, X)$ se si conosce la Fourier-trasformata di $h(x)$.
Nel nostro caso, la serie di Fourier è anche facilmente sommabile nel campo complesso restituendoci in tal modo la funzione $F(x, b, X)$ somma delle infinite funzioni impulsive $h(x+nX) = 1/((x+nX)^2 + b^2)$ per $n$ da $-∞$ a $+∞$.
In $x = 0$ avremo, in particolare:
$F(0, b, X) =$ <Sommatoria, per n da $-∞$ a $+∞$, di $1/((nX)^2 + b^2)$> $=$
$= 1/b^2 +$ <Sommatoria, per n da $1$ a $+∞$, di $2/((nX)^2 + b^2)$>.
E ancora più in particolare, per $X = 1$ e "$b = 1/π$:
$F(0, 1/π, 1) =π^2 +$ <Sommatoria, per n da $1$ a $+∞$, di $2 π^2/((nπ)^2 + 1)$>.

Il vero problema è allora:
a) Trovare la Fourier-trasformata di $h(x) = 1/(x^2 + b^2)$;
b) Tramite questa, trovare lo sviluppo in serie di Fourier della somma F(x, b, X) delle nfinite $h(x-nX)$ per n da $-∞$ a $+∞$;
c) Tramite questa serie, calcolare la effettiva $F(x, b, X).

Risolto questo problema in generale, la soluzione del quiz risulterà soltanto un suo caso particolare.
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––> Una serie particolarissima, pag, 1 di tre

––> Una serie particolarissima, pag, 2 di tre

––> Una serie particolarissima, pag, 3 di tre

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