Una ricorrenza particolare

[Sk_Anonymous]

Si consideri la successione ${a_n}$ così definita :
\(\displaystyle \begin{cases}a_o=1\\a_1=2 \end{cases} \)
e per $n>1$ sia:
$a_{n-1}\cdot a_n+2a_n \cdot a_{n+1}=3a_{n-1}\cdot a_{n+1} $
Calcolare $a_n$ in forma chiusa.

[Rigel1]

Direi \(a_n = -2/(2^n-3)\).

[Sk_Anonymous]

Sbagliato...! La soluzione è :
$2/{3-2^n}$

Dimostrare, prego

[Riccardo Desimini]

@ciromario: mi sembra che la risposta di Rigel sia uguale alla tua.

[Rigel1]

@ciromario:

Basta porre \(b_n = 1/a_n\) e ricondursi all'equazione lineare \(b_{n+1}=3 b_n - 2 b_{n-1}\), che si risolve con metodi standard fornendo la soluzione generale \(b_n = c_1 + c_2 \, 2^n\). A questo punto, sostituendo le condizioni iniziali \(b_0 = 1\) e \(b_1 = 1/2\) si ottiene \(b_n = (3-2^n)/2\), cioè la soluzione annunciata.

[Sk_Anonymous]

@Rigel
Ok...
@Riccardo Desimini:
Non hai notato la "sottile ironia " della mia risposta a Rigel ? Scherzavo

[Riccardo Desimini]

Ahah ok no non ci avevo minimamente pensato.