Una disuguaglianza in spazi di Sobolev (frazionari?)

Sk_Anonymous
Ricordo che la trasformata di Fourier di una funzione \(f \in L^1 ( \mathbb{R})\) è definita da \[\hat{f}(\xi) := \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-i x \xi} \, dx. \]
Possiamo definire lo spazio di Sobolev \(H^s (\mathbb{R})\) come l'insieme delle funzioni \(f\) t.c. \[ \| f \|^2 _{H^s} = \int_{\mathbb{R}} (1 + |\xi|^2)^s | \hat{f} (\xi) |^2 \, d \xi < +\infty. \]

Esercizio. Mostrare che se \(s > 1/2\), allora esiste una costante \(c_s\) tale che \[\sup_x |f(x)| \le c_s \|f\|_{H^s}\] per ogni \(f \in H^s (\mathbb{R})\).

Risposte
Sk_Anonymous
Faccio io: usando congiuntamente la formula di inversione di Fourier e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ottiene \[\begin{split} |f(x)| & = \left |\int_{\mathbb{R}} \hat{f} (\xi) e^{i x \xi} \, d \xi \right| = \left |\int_{\mathbb{R}} \hat{f} (\xi) e^{i x \xi} (1 + |\xi|^2)^{s/2} (1 + |\xi|^2)^{-s/2} \, d \xi \right| \\ & \le \left[ \int_{\mathbb{R}} |\hat{f}(\xi)|^2 (1 + |\xi|^2)^s \, d\xi \right]^{1/2} \left[ \int_{\mathbb{R}} (1 + |\xi|^2)^{-s} \, d \xi\right]^{1/2}\end{split}\]e se \( s > 1/2\), \[c_s=\int_{\mathbb{R}} (1 + |\xi|^2)^{-s} \, d \xi < +\infty.\]
Prendendo il \(\sup\) di LHS we are done.

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