Una cosina di aritmetica
Dimostrare che l'equazione :
$x^4+131=3y^4$
non ha soluzioni intere.
$x^4+131=3y^4$
non ha soluzioni intere.
Risposte
Usiamo i seguenti fatti:
$n^4-=0 mod16$ se $n$ è pari
$n^4-=1 mod16$ se $n$ è dispari
$131-=3 mod16$
Osserviamo inoltre che condizione necessaria (ma non sufficiente) per avere l'identità è la congruenza $mod16$
Questi fatti sono sufficienti a escludere le seguenti combinazioni:
1) $x$ pari e $y$ pari, si avrebbe $3-=0 mod16$: falso!
2) $x$ dispari e $y$ pari, si avrebbe $4-=0 mod16$: falso!
3) $x$ dispari e $y$ dispari, si avrebbe $4-=3 mod16$: falso!
Ma se $x$ è pari e $y$ è dispari allora è rispettata la congruenza $mod16$, si ha infatti $3-=3$: vero! Come detto, questo non è sufficiente per concludere l'identità. Per questa ultima combinazione usiamo un metodo più pratico confrontando le cifre possibili delle unità dei due membri dell'identità che si sta studiando!
Le cifre delle unità possibili delle potenze quarte di un numero intero pari sono: $0$ e $6$,
quindi, le cifre delle unità possibili del primo membro sono $1$ e $7$.
Le cifre delle unità possibili delle potenze quarte di un numero intero dispari sono: $1$ e $5$,
quindi, le cifre delle unità possibili del secondo membro sono $3$ e $5$.
Pertanto confrontando le cifre possibili delle unità dei due membri si trova che l'identità non è possibile per la combinazione ($x$ pari, $y$ dispari); e avendo trattato tutte le combinazioni possibili, abbiamo dimostrato che l'equazione diofantea non ha soluzioni!
$n^4-=0 mod16$ se $n$ è pari
$n^4-=1 mod16$ se $n$ è dispari
$131-=3 mod16$
Osserviamo inoltre che condizione necessaria (ma non sufficiente) per avere l'identità è la congruenza $mod16$
Questi fatti sono sufficienti a escludere le seguenti combinazioni:
1) $x$ pari e $y$ pari, si avrebbe $3-=0 mod16$: falso!
2) $x$ dispari e $y$ pari, si avrebbe $4-=0 mod16$: falso!
3) $x$ dispari e $y$ dispari, si avrebbe $4-=3 mod16$: falso!
Ma se $x$ è pari e $y$ è dispari allora è rispettata la congruenza $mod16$, si ha infatti $3-=3$: vero! Come detto, questo non è sufficiente per concludere l'identità. Per questa ultima combinazione usiamo un metodo più pratico confrontando le cifre possibili delle unità dei due membri dell'identità che si sta studiando!
Le cifre delle unità possibili delle potenze quarte di un numero intero pari sono: $0$ e $6$,
quindi, le cifre delle unità possibili del primo membro sono $1$ e $7$.
Le cifre delle unità possibili delle potenze quarte di un numero intero dispari sono: $1$ e $5$,
quindi, le cifre delle unità possibili del secondo membro sono $3$ e $5$.
Pertanto confrontando le cifre possibili delle unità dei due membri si trova che l'identità non è possibile per la combinazione ($x$ pari, $y$ dispari); e avendo trattato tutte le combinazioni possibili, abbiamo dimostrato che l'equazione diofantea non ha soluzioni!
Bene DKant10 ! L'uso delle congruenze "modulo qualcosa" serve proprio a risolvere quesiti del genere. Aggiungo anche che operando in mod 5 avresti ridotto il numero dei possibili casi.
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