Un sistema diofanteo... impossibile!
Dimostrare che il sistema di equazioni diofantee seguente:
\[
\begin{cases}
ac-5bd=1\\
ad+bc=1
\end{cases}
\]
ammette solo quattro soluzioni distinte.
A meno che non ci siano trucchi che non conosco: io ho dovuto usare i cannoni!
\[
\begin{cases}
ac-5bd=1\\
ad+bc=1
\end{cases}
\]
ammette solo quattro soluzioni distinte.
A meno che non ci siano trucchi che non conosco: io ho dovuto usare i cannoni!
Risposte
Così a occhio ce ne sono (almeno) due:
infatti, se $b=0$ si ha $ac=ad=1=> a=d=c= 1 vv a=c=d = -1$
infatti, se $b=0$ si ha $ac=ad=1=> a=d=c= 1 vv a=c=d = -1$
Hai ragione; mi ero dimenticato delle altre tre.
Il sistema nasce da un problema di fattorizzazione in anelli che sono \(\displaystyle\mathbb{Z}\)-algebre; mi ero dimenticato che le unità (in \(\displaystyle\mathbb{Z}\)) sono \(\displaystyle1\) e \(\displaystyle-1\)!
Il sistema nasce da un problema di fattorizzazione in anelli che sono \(\displaystyle\mathbb{Z}\)-algebre; mi ero dimenticato che le unità (in \(\displaystyle\mathbb{Z}\)) sono \(\displaystyle1\) e \(\displaystyle-1\)!
Ho una mezza idea (a occhio) ma per svilupparla mi servirebbe sapere se nella soluzione centrano qualcosa gli ideali primi degli anelli $ZZ[i√5]$ e $ZZ$.
Che occhio!
Sì, c'entra almeno uno dei due; in quanto l'altro non ho usato.
Sì, c'entra almeno uno dei due; in quanto l'altro non ho usato.
\[ \begin{cases} ac-5bd=1\\ ad+bc=1 \end{cases} \]
se $a=0$ non ci sono soluzioni; se $c=0$ non ci sono soluzioni;
se $b=0$ ci sono due soluzioni: $a=c=d =1 vv a=c=d = -1$; se $d=0$ si sono due soluzioni: $a=b=c=1 vv a=b=c= -1$;
se $a,b,c,d$ sono tutti non nulli, distinguo quattro casi:
1) $a>=1, c>=1$
Si ha $ac>=1$, dunque deve valere $bd>=1$ (perchè se $bd<= -1$ si avrebbe $ac-5bd>=1 -5bd>=1+5=6$),
da cui ${(b>=1),(d>=1):} vv {(b<= -1),(d<= -1):}$
Nel primo caso si ha $ad+bc>=1+1=2$, nel secondo caso $ad+bc<= -1 -1= -2$
2) $a<= -1$, $c<= -1$
Si ha $ac>=1$, dunque deve valere $bd>=1$
da cui ${(b>=1),(d>=1):} vv {(b<= -1),(d<= -1):}$
Nel primo caso si ha $ad+bc<= -1-1$, nel secondo caso $ad+bc>= 1+1=2$
3) $a>=1$, $c<= -1$
Si ha $ac <= -1$, dunque deve valere $bd<= -1$ (perchè se $bd>=1$ si avrebbe $ac-5bd<= -1-5bd<= -6$)
da cui ${(b>=1),(d<= -1):} vv {(b<= -1),(d>= 1):}$
Nel primo caso si ha $ad+bc<= -1-1= -2$, nel secondo caso $ad+bc>= 1+1=2$
4) $a<= -1$, $c>= 1$
Si ha $ac <= -1$, dunque deve valere $bd<= -1$
da cui ${(b>=1),(d<= -1):} vv {(b<= -1),(d>= 1):}$
Nel primo caso si ha $ad+bc>= 1+1=2$, nel secondo caso $ad+bc<= -1-1= -2$
In sintesi, direi che bastano queste considerazioni sui segni per concludere che non ci sono altre soluzioni
se $a=0$ non ci sono soluzioni; se $c=0$ non ci sono soluzioni;
se $b=0$ ci sono due soluzioni: $a=c=d =1 vv a=c=d = -1$; se $d=0$ si sono due soluzioni: $a=b=c=1 vv a=b=c= -1$;
se $a,b,c,d$ sono tutti non nulli, distinguo quattro casi:
1) $a>=1, c>=1$
Si ha $ac>=1$, dunque deve valere $bd>=1$ (perchè se $bd<= -1$ si avrebbe $ac-5bd>=1 -5bd>=1+5=6$),
da cui ${(b>=1),(d>=1):} vv {(b<= -1),(d<= -1):}$
Nel primo caso si ha $ad+bc>=1+1=2$, nel secondo caso $ad+bc<= -1 -1= -2$
2) $a<= -1$, $c<= -1$
Si ha $ac>=1$, dunque deve valere $bd>=1$
da cui ${(b>=1),(d>=1):} vv {(b<= -1),(d<= -1):}$
Nel primo caso si ha $ad+bc<= -1-1$, nel secondo caso $ad+bc>= 1+1=2$
3) $a>=1$, $c<= -1$
Si ha $ac <= -1$, dunque deve valere $bd<= -1$ (perchè se $bd>=1$ si avrebbe $ac-5bd<= -1-5bd<= -6$)
da cui ${(b>=1),(d<= -1):} vv {(b<= -1),(d>= 1):}$
Nel primo caso si ha $ad+bc<= -1-1= -2$, nel secondo caso $ad+bc>= 1+1=2$
4) $a<= -1$, $c>= 1$
Si ha $ac <= -1$, dunque deve valere $bd<= -1$
da cui ${(b>=1),(d<= -1):} vv {(b<= -1),(d>= 1):}$
Nel primo caso si ha $ad+bc>= 1+1=2$, nel secondo caso $ad+bc<= -1-1= -2$
In sintesi, direi che bastano queste considerazioni sui segni per concludere che non ci sono altre soluzioni
A parte che i segni di confronto debbano essere stretti; non c'avevo proprio pensato a giocare sui segni... Figurati che, oltre ad aver risolto con le estensioni di anelli, stavo pensando di usare la teoria dell'intersezione!
Vabbè: fa nulla!
Al solito "troppa matematica può nuocere alla salute."
Vabbè: fa nulla!
Al solito "troppa matematica può nuocere alla salute."
Prendiamo $a+b√5i, c+d√5i \in ZZ[√5i]$ consideriamo il loro prodotto:
$(a+b√5i)(c+d√5i)=ac-5bd+i√5(ad+bc)=1+√5i$
$1+√5i$ è un elemento irriducibile dell'anello dunque o a+b√5i o c+d√5i sono elementi invertibili, poiché gli unici due elementi invertibili in $ZZ[√5i]$ sono $1$ e $-1$ allora o $a+b√5i=+-1$ o $c+d√5i=+-1$ da cui seguirebbe l'unicità delle soluzioni trovate.
$(a+b√5i)(c+d√5i)=ac-5bd+i√5(ad+bc)=1+√5i$
$1+√5i$ è un elemento irriducibile dell'anello dunque o a+b√5i o c+d√5i sono elementi invertibili, poiché gli unici due elementi invertibili in $ZZ[√5i]$ sono $1$ e $-1$ allora o $a+b√5i=+-1$ o $c+d√5i=+-1$ da cui seguirebbe l'unicità delle soluzioni trovate.
"j18eos":
A parte che i segni di confronto debbano essere stretti;
perchè?
Se tu ipotizzi che \(\displaystyle ac\ge1\) allore dev'essere \(\displaystyle bd\ge0\), a causa del primo uguale...
"dan95":Non è vero!
...$1+√5i$ è un elemento primo dell'anello...
Ad esempio: \(\displaystyle2\cdot3=6\in\left(1+i\sqrt{5}\right)\) ma \(\displaystyle2,3\not\in\left(1+i\sqrt{5}\right)\).
@j18eos
Infatti stiamo lavorando $ZZ[√5i]$ e non in $ZZ[√5]$.
Infatti stiamo lavorando $ZZ[√5i]$ e non in $ZZ[√5]$.
Corretta l'omissione. 
Ti faccio vedere:
\[
\left(1+i\sqrt{5}\right)\left(1-i\sqrt{5}\right)=1-i^25=6
\]
e.o.
P.S.: se prosegui da qui puoi giungere a dimostrare che \(\displaystyle1+i\sqrt{5}\) è un elemento irriducibile.
Ti faccio vedere:
\[
\left(1+i\sqrt{5}\right)\left(1-i\sqrt{5}\right)=1-i^25=6
\]
e.o.
P.S.: se prosegui da qui puoi giungere a dimostrare che \(\displaystyle1+i\sqrt{5}\) è un elemento irriducibile.
Si scusa ho sbagliato a scrivere volevo dire che era irriducibile. 
apparte questo il resto va bene no?
apparte questo il resto va bene no?
"dan95":Veramente, le soluzioni di quel sistema diofanteo dimostrano proprio che \(\displaystyle1+i\sqrt{5}\) è irriducibile in \(\displaystyle\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\).
...a parte questo il resto va bene no?
Ma è vero anche il viceversa, cioè l'irriducibilità di quel numero implica che l'equazione diofantea ha quelle soluzioni.
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