Un quiz sullo sviluppo in serie di Fourier

[Erasmus_First]

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[Quinzio]

Non ho controllato, ma dev'essere lo sviluppo in serie di
$ln((1+sin x)/(1- sin x))$.

Saluti da Rotterdam.

[Erasmus_First]

"Quinzio":Non ho controllato, ma dev'essere lo sviluppo in serie di
$ln((1+sin x)/(1- sin x))$.
Saluti da Rotterdam.

Grazie dei saluti (ase davvero stai a Rotterdam, patria del grande Erasmus Desiderius 8appunto "roterodamus") di cui indosso l'avatar e porto orgogliosamente il nome.
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La serie $f(x)$ converge alla metà della funzione che hai indicato tu,
E' facile verificare che quella serie $f(x)$ converge a $1/2 ln((i+sin(x))/(i-sin(x)))$.
Ma ilo bello è ora sviluppare in serie di Fourier questa funzione.

Ciao Quinzio
Ciao a tutti
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[Erasmus_First]

"Erasmus_First":E' facile verificare che quella serie $f(x)$ converge a $1/2 ln((i+sin(x))/(i-sin(x)))$.

Ma qual è lo sviluppo in serie di Fourier questa funzione?
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Tante visite e nessun tentativo di risposta!
Allora mi rispondo io stesso.
Lo faccio inserendo l'immagine di una pagina di testo (e di formule che avrei difficoltà a scrivere direttamente qui).
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[Tutto molto facile passando per il campo complesso.

[Erasmus_First]

Per comodità indico con $C(n,k)$ il coefficiente binomiale £enne sopra cappa", ossia il numero di combinazioni distinte di k elementi estratti da un insieme di n elementi.
E' noto che
$C(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
Un corollario del precedente sviluppo in serie di Fourier è il seguente:
"Per oni $n$ naturale, la somma per k da 0 a +∞ di
$1/((2(n+k)+1)·2^(2(n+k)))C(2(n+k)+1,k)$
vale
$2/(2n+1)$.
Infatti per ogni n naturale si ha:
$(sin^(2n+1)(x))=((-1)^n)/(2^(2n))(e^(jx)-e^(-jx))^(2n+1)1/(2^(2n))·$<Somma per k da 0 ad n di
$(-1)^k C(2n+1,(n-k)) sin((2k+1)x)$>"
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