Un integrale triplo

[dan952]

Calcolare l'integrale triplo

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \{\frac{x}{y}\} \{\frac{y}{z}\} \{\frac{z}{x}\} dx dy dz$

Dove ${\cdot }$ indica la parte frazionaria.

[ingres]

1/8 ?

[dan952]

No

[ingres]

Ho provato a percorrere la strada di sostituire alla parte frazionaria la differenza tra il valore e la sua parte intera.
Questa strada conduce ad alcune interessanti semplificazioni, ma non mi sembra comunque che permetta di arrivare a una soluzione.
Suggerimento?

[dan952]

Non ho la soluzione... È un integrale abbastanza tosto ...

[dan952]

"dan95":Non ho la soluzione... È un integrale abbastanza tosto ...

So solo che fa

$1+\pi^2\frac{2\zeta(3)-9}{72} ~~ 0.09585$

[ingres]

Pienamente d'accordo e da come è scritta la soluzione mi aspetto che non sia facile trovare la strada giusta per affrontarlo.
Va bene, vedo lo stesso se riesco ad ottenere qualche risultato apprezzabile.

[Quinzio]

Come spunto per altre idee (che non ho) si potrebbe iniziare con l'integrale piu' semplice in due dimensioni:

$\int_0^1 \int_0^1 {x/y}\ dx\ dy = $

$\int_0^1 \int_x^{1} x/y\ dy\ dx + \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \int_{x/(n+1)}^{x/n} (x/y -n)\ dy\ dx$

[Quinzio]

"Quinzio":Come spunto per altre idee (che non ho) si potrebbe iniziare con l'integrale piu' semplice in due dimensioni:

$\int_0^1 \int_0^1 {x/y}\ dx\ dy = $

$\int_0^1 \int_x^{1} x/y\ dy\ dx + \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \int_{x/(n+1)}^{x/n} (x/y -n)\ dy\ dx$

In questo integrale 2D si nota che ci sono 2 addendi: quello di sinistra corrisponde ad un'area in cui $x Per l'altro addendo invece l'integrale va discretizzato usando la sommatoria.
Ci si potrebbe chiedere se esiste l'analogo in 3D, ovvero che ci sia un'area in cui non ci sia bisogno della discretizzazione.
In realta' quest'area non c'e' perche' se mettiamo i vincoli $x Questo semplice concetto lo si ritrova anche qui:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=224907
grazie ad Alex
Se si considerano le 3 coppie di coordinate, e per ogni coordinata si considera l'opzione $>1$ oppure $<1$ (e quindi se c'e' bisogno della discretizzazione), ci si ritrova con $2^3 = 8$ combinazioni.
Come abbiamo visto, 2 di queste non sono realizzabili, ovvero:
$x $x>y>z>x$
e quindi si rimane con 6 combinazioni.
Le 6 combinazioni rimaste sono (e' bene esplicitarle):
$x>y>z$
$y>z>x$
$z>x>y$

$x $y $z
La cosa positiva di tutto questo e' che sembra che non ci sia bisogno di un integrale con un tripla discretizzazione, ovvero una discretizzazione per ogni asse, che avrebbe condotto ad una sommatoria tripla, che forse non sarebbe neanche risolvibile.
Sembra che non ci sia bisogno di questo, ma ci si limita ad una sommatoria doppia, che, anche se non e' certamente semplice, si puo' sperare di risolverla.
Addirittura 3 di quelle combinazioni hanno bisogno solo della discretizzazione singola e pertanto si possono ricondurre (forse) all'integrale 2D gia' scritto.
Quelle che hanno bisogno della doppia discretizzazione sono le prime 3 combinazioni:
$x>y>z$
$y>z>x$
$z>x>y$

[ingres]

Sicuramente non facile ma sembra promettente
Grazie Quinzio, spunto veramente notevole!

[Quinzio]

"ingres":Sicuramente non facile ma sembra promettente
Grazie Quinzio, spunto veramente notevole!

Nello spoiler ci sono altre novita'.

Sembra che l'integrale da risolvere sia questo:

$I=3(A+B)$

$A = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x=z/(n+1)}^{x=z/n} \int_{y=x}^{y=z} (z/x - n) x/y y/z\ dy\ dx\ dz$

$B = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{m=1}^{\infty} \int_{x=z/(m+1)}^{x=z/m} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{y=(x)/(n+1)}^{y=(x)/n} (z/x - m) (x/y-n) y/z\ dy\ dx\ dz$

Riscrivo qui gli estremi degli integrali:

Integrale $A$: $z \in [0,1]$, $x\in [z/(n+1), z/n]$, $y \in [x, z]$

Integrale $B$: $z \in [0,1]$, $x\in [z/(m+1), z/m]$, $y \in [(x)/(n+1), (x)/n]$

Da vedere e' abbastanza terrificante, ma quello che crea piu' problemi sono le sommatorie, non tanto gli integrali in se.

La prima cosa che si nota e' che nell'integranda di entrambi gli integrali si puo' fare questa operazione:

$(z/x - n) x/y y/z = 1- n x/z$

$(z/x - m) (x/y-n) y/z = 1- m x/z - n y/x +mn y/z $

Sfruttando la linearita' dell'integrale quell'$1$ si puo' integrare separatamente, ovvero

$\barI=3(\barA+\barB)$

$\barA = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x=z/(n+1)}^{x=z/n} \int_{y=x}^{y=z} \ dy\ dx\ dz = 1/6$

$\barB = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{m=1}^{\infty} \int_{x=z/(m+1)}^{x=z/m} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{y=(x)/(n+1)}^{y=(x)/n} \ dy\ dx\ dz = 1/6$

Quindi $\barI = 1$.
Questo risultato e' immediato, in quanto tutti quegli estremi sugli integrali e quelle sommatorie non fanno altro che spezzare il volume del cubo in tante parti.
Se l'integranda e' $1$, si ritrova il volume del cubo che e' $1$.
Questo e' responsabile di quell' $1$ che si vede nel risultato finale $ 1+\pi^2\frac{2\zeta(3)-9}{72} $ pubblicato da dan95.
Il $\pi^2$ viene sicuramente fuori dalla sommatoria $\sum 1/n^2 = \pi^2 / 6$
Anche la funzione zeta di Riemann altro non e' che una sommatoria $\zeta(3) = \sum 1/n^3$ di cui pero' non esiste la forma chiusa.
Le sommatorie derivano da quelle che si vedono negli integrali, che quasi sicuramente sono separabili dal resto dell'integrale.

[Quinzio]

Vi lascio un link Geogebra dove si vede il cubo con alcune delle sezioni in cui la parte frazionaria non ha discontinuita'. Sui bordi delle sezioni la parte frazionaria raggiunge 1 o zero e quindi si salta in un nuova sezione dove la parte frazionaria ritorna a 1 o a zero.
https://www.geogebra.org/m/tcde9jnx

So che e' un integrale poco simpatico, pero' con un po' di sforzo e di immaginazione ci si salta fuori.

[Quinzio]

$$A = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x=\frac{z}{n+1}}^{x=\frac{z}{n}} \int_{y=x}^{y=z} \left (\frac{z}{x} - n \right) \frac{x}{y} \frac{y}{z}\ dy\ dx\ dz$$

$$A = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x=\frac{z}{n+1}}^{x=\frac{z}{n}} \int_{y=x}^{y=z} \left (1 - n \frac{x}{z} \right) \ dy\ dx\ dz$$

$$ A = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x=\frac{z}{n+1}}^{x=\frac{z}{n}} \left (1 - n \frac{x}{z} \right)(z - x) \ dx\ dz $$

$$ A = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x=\frac{z}{n+1}}^{x=\frac{z}{n}} \left (z - x(n+1) + \frac{n x^2}{z} \right) \ dx\ dz $$

$$ A = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{n=1}^{\infty} \left (zx - \frac{x^2}{2}(n+1) + \frac{n x^3}{3z} \right) \biggr\rvert_{x=\frac{z}{n+1}}^{x=\frac{z}{n}} \ dx\ dz $$

$$ A = \int_{z=0}^{z=1} \sum_{n=1}^{\infty} \left(
z^2 \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
- \frac{z^2}{2} \left(\frac{n+1}{n^2} - \frac{n+1}{(n+1)^2} \right)
+ \frac{z^2}{3} \left(\frac{n}{n^3} - \frac{n}{(n+1)^3} \right)
\right) \ dz $$

Sommatorie...
$$
\sum_{n=1} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1
$$

$$
\sum_{n=1} \left(\frac{n+1}{n^2} - \frac{n+1}{(n+1)^2} \right) = \dots + \frac{n+1}{n^2} - \frac{n+1}{(n+1)^2} + \frac{n+2}{(n+1)^2} - \frac{n+2}{(n+2)^2} + \dots = \\ = 2 + \sum_{n=1} \frac{1}{(n+1)^2} = 1+ \frac{{\pi}^2}{6}
$$

$$
\sum_{n=1} \left(\frac{n}{n^3} - \frac{n}{(n+1)^3} \right) = \dots + \frac{n}{n^3} - \frac{n}{(n+1)^3} + \frac{n+1}{(n+1)^3} - \frac{n+1}{(n+2)^3} + \dots = \\ = 1 + \sum_{n=1} \frac{1}{(n+1)^3} = \zeta(3)
$$

$$ A = \int_{z=0}^{z=1} \left(
z^2
- \frac{z^2}{2} \left( 1+ \frac{{\pi}^2}{6} \right)
+ \frac{z^2}{3} \zeta(3)
\right) \ dz $$

$$ A = \frac{1}{3} \left(
1
- \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{{\pi}^2}{6} \right)
+ \frac{1}{3} \zeta(3)
\right) $$

[dan952]

@Quinzio

Scusami era da un po' che non entravo e non avevo visto la soluzione

[Quinzio]

"dan95":@Quinzio

Scusami era da un po' che non entravo e non avevo visto la soluzione

In realta' la soluzione non e' completa, c'e' ancora da risolvere l'integrale $B$, sperando che sia tutto corretto.

Se qualcuno vuole offrirsi volontario....

[ingres]

Beh ci posso provare.
Visto la risoluzione di A, probabilmente anche B è meno complicata di quello che sembra.

[dan952]

"Quinzio":[quote="dan95"]@Quinzio

Scusami era da un po' che non entravo e non avevo visto la soluzione

In realta' la soluzione non e' completa, c'e' ancora da risolvere l'integrale $ B $, sperando che sia tutto corretto.

Se qualcuno vuole offrirsi volontario.... [/quote]

Pero l' idea generale mi sembra corretta... Comunque se trovo del tempo mi ci metto. Bravo anche Ingres che sta contribuendo alla risoluzione.

[ingres]

Ho provato a calcolare B

$B=int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) sum_(n=1)^∞ int_(y=x/(n+1))^(y=x/n)(z/x−m)(x/y−n)y/z dy dx dz$

Consideriamo l'ultimo integrale:
$int_(y=x/(n+1))^(y=x/n)(z/x−m)(x/y−n)y/z dy = int_(y=x/(n+1))^(y=x/n)((1-mx/z)+n(m/z-x)y)dy= $
$=(1-mx/z)x(1/n-1/(n+1)) + 1/2n(m/z-x)x^2(1/n^2 -1/(n+1)^2)$

Applicando la sommatoria risulta:

$sum_(n=1)^∞ (1/n-1/(n+1))=1$
$sum_(n=1)^∞ n*(1/n^2 -1/(n+1)^2)=sum_(n=1)^∞ (1/n-1/(n+1)+1/(n+1)^2)=1+pi^2/6-1 = pi^2/6$

Quindi passando all'integrale intermedio:
$int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) ((1-mx/z)x+pi^2/(12)*(m/z-x)x^2)dx=$
$=int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) (x+mx^2/z(pi^2/(12)-1)-pi^2/(12)x^3)dx=$
$=z^2/2(1/m^2 -1/(m+1)^2)+z^2/3(pi^2/(12)-1)m(1/m^3 -1/(m+1)^3)-z^4(pi^2/(48))(1/m^4 -1/(m+1)^4)$

Applicando la sommatoria risulta:
$sum_(m=1)^∞ (1/n^2-1/(n+1)^2)=1$
$sum_(m=1)^∞ m(1/m^3 -1/(m+1)^3)=sum_(n=1)^∞ (1/m^2-1/(m+1)^2+1/(m+1)^3)=1+zeta(3)-1=zeta(3)$
$sum_(m=1)^∞(1/m^4 -1/(m+1)^4)=1$

e quindi il primo integrale diventa:
$B=int_(z=0)^(z=1) (z^2/2+z^3/3(pi^2/(12)-1)zeta(3)-pi^2/(48)z^4)dz=1/6+1/(12)(pi^2/(12)-1)zeta(3)-pi^2/(240)$

$I =3(A+B) = 3(1/6+pi^2/36+1/9zeta(3)+1/6+1/(12)(pi^2/(12)-1)zeta(3)-pi^2/(240))=$
$I=1+17/(240)pi^2+(4+pi^2)(zeta(3))/(144)$

Sono riuscito ad arrivare in fondo e quindi la buona notizia è che l'idea è corretta e permette di arrivare al risultato. Quella cattiva è che c'è qualche errore nei calcoli, quasi sicuramente nel calcolo di B visto l'ora tarda

[Quinzio]

"ingres":Ho provato a calcolare B....

Nel tuo post sotto a "e quindi il primo integrale diventa:" c'e' un $z^3$ che in realta' e' $z^2$.
Poi anche quella sommatoria con la potenza quarta non so se e' corretto. Ma su questo non sono sicuro.

[Quinzio]

Sapere che c'e' questa soluzione lasciata a meta' non mi da pace...

$B=int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) sum_(n=1)^∞ int_(y=x/(n+1))^(y=x/n)(z/x−m)(x/y−n)y/z dy dx dz$

L'integranda come somma diventa:
$(z/x−m)(x/y−n)y/z = 1 - m x/z - n y/x + mn y/z$

e quindi calcolo separatamente l'integrale di ogni addendo.

Per il primo il calcolo e' immediato:
$B_1=int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) sum_(n=1)^∞ int_(y=x/(n+1))^(y=x/n) dy dx dz$
$B_1 = 1/6$

Secondo addendo $-m x/z $
$B_2=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) sum_(n=1)^∞ int_(y=x/(n+1))^(y=x/n) m x/z \ dy\ dx\ dz$

$B_2=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) sum_(n=1)^∞ m x/z (x/n - x/(n+1) ) \ dx\ dz$

$B_2=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ m x^3/(3z) |_(x=z/(m+1))^(x=z/m) \ dz$

$B_2=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ z^2/3 (m/m^3 - m/(m+1)^3) \ dz$

$B_2=-int_(z=0)^(z=1) z^2/3 \zeta(3) \ dz$

$B_2=-1/9 \zeta(3) $

Terzo addendo $- n y/x$

$B_3=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) sum_(n=1)^∞ int_(y=x/(n+1))^(y=x/n) n y/x \ dy\ dx\ dz$

$B_3=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) sum_(n=1)^∞ n/x y^2 / 2 |_(y=x/(n+1))^(y=x/n) \ dx\ dz$

$B_3=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) sum_(n=1)^∞ x/2 (n/n^2 - n/(n+1)^2) \ dx\ dz$

$B_3=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) x/2 \pi^2 / 6 \ dx\ dz$

$B_3=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ x^2/24 \pi^2 |_(x=z/(m+1))^(x=z/m) \ dz$

$B_3=-int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ z^2/24 \pi^2 (1/m^2 - 1/(m+1)^2 ) \ dz$

$B_3=-int_(z=0)^(z=1) z^2/24 \pi^2 \ dz$

$B_3=- \pi^2 / 72$

Quarto addendo $mn y/z$

$B_4=int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) sum_(n=1)^∞ int_(y=x/(n+1))^(y=x/n) nm y/z \ dy\ dx\ dz$

$B_4=int_(z=0)^(z=1)sum_(m=1)^∞ int_(x=z/(m+1))^(x=z/m) m x^2/z \pi^2/ 12 \ dx\ dz$

$B_4=int_(z=0)^(z=1) z^2 \pi^2/ 36 \zeta(3) \ dz$

$B_4= \pi^2/ 108 \zeta(3) $

-----------------------------------------

$B = B_1 + B_2 + B_3 + B_4 = 1/6 -1/9 \zeta(3) - \pi^2 / 72 + \pi^2/ 108 \zeta(3) $

Riprendo $A$

$A = 1/3 (1 -1/2 (1+\pi^2 /6) + 1/3 \zeta(3)) = 1/6 - \pi^2 /36 + 1/9 \zeta(3)$

calcolo $I$

$ I = 3A + 3B = 3(1/6 - \pi^2 /36 + 1/9 \zeta(3)) + 3(1/6 -1/9 \zeta(3) - \pi^2 / 72 + \pi^2/ 108 \zeta(3) )$

$ I = (1/2 - \pi^2 /12 + 1/3 \zeta(3)) + (1/2 -1/3 \zeta(3) - \pi^2 / 24 + \pi^2/ 36 \zeta(3) )$

$ I = 1 - \pi^2 /8 + \pi^2/ 36 \zeta(3)$

$ I = 1 + \pi^2 ( 1/ 36 \zeta(3) - 1/8)$

$ I = 1 + \pi^2 ( 2 \zeta(3) - 9)/72 $

[dan952]

@Quinzio

Io mi ero ormai scoraggiato vista la mole di conti... Bravo di nuovo