Ullallà, che belle serie!

[Erasmus_First]

––> dasns95; "Eh già "
Premessa:
Siano p e q natiurali , sia p ≥ q e si indichi icon $C(p, q)$ il numero di combinazioni di q elementi scelti da un insieme di p elementi [distinti], cioè:
$C(n. q) = (p!)/(q!(p-q)!)$.

Il quiz
Siano n e k naturali e sia n ≥ k.
Dimostraee che
$sum_{n=k}^(+∞}(C(2n+1, n-k))/(4^n·(2n+1)) = 2/(2k+1)$.
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Per esempio (tanto per iniziare ), per k = 0 si ha:
$sum_{n=0}^(+∞}(C(2n+1, n))/(4^k·(2n+1)) = sum_{n=0}^(+∞}1/(n+1)((2n)!)/(4^n(n!)^2)$
E bisognerebbe provare che questa serie tende a 2
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P,S (Ora, gio 27.09.2018 h 19:42)
Ho corretto da k a n dove, giustamente, ha segnalato l'errore cooper

[cooper1]

premessa 1

vale la seguente $sum_(i=0)^(oo)(n(2i+n-1)!)/(i! (n+i)!)x^i = ((1-sqrt(1-4x))/(2x))^n$

premessa 2: mi sembra tu possa aver sbagliato a scrivere il testo, secondo me è un $1/4^n$ e non $1/4^k$ (anche perchè con $k=0$ usi poi n). se così non fosse non ho minimamente idea di come risolvere
svolgimento
$S:=sum_(n=k)^(oo)((2n+1),(n-k))1/(4^n (2n+1))=sum_(n=k)^(oo)((2n)!)/(4^n (n-k)!(n+k+1)!)=sum_(p=0)^(oo)((2p+2k)!)/(p!(p+2k+1)! 4^(p+k))=sum_(p=0)^(oo)((2p+2k)!)/(p!(p+2k+1)! 4^(p+k))*(2k+1)/(2k+1)=1/(4^k(2k+1))sum_(p=0)^(oo)((2k+1)(2p+(2k+1)-1)!)/(p!(p+(2k+1))! 4^(p))$
usando ora la premessa 1 con $n=2k+1 ^^ x=1/4$ ottengo $S=(2^(2k+1))/(4^k(2k+1))=2/(2k+1)$

[Erasmus_First]

"cooper":[,,,] è un $1/4^n$ e non $1/4^k$ [,,,]

Hai ragione!
Grazie per la segnalazione. [Sono già andato a correggere]
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[Ma io ho usato tutt'altro ... che col senno di poi risulta di una facilità sconcertante!]

Lo dico! Le uguaglianze da dimostrare sono, per me, una scoperta [autonoma!] di alcuni giorni fa. Naturalmente ho pensato che la probabilità che altri mi avesse preceduto era 1 [Ossia: non pretendo certo di scoprire cose nuove! Ma è un"diletto" scoprire autonomamente qualcosa di interessante. Siamo appunto "dilettanti"!
Conoscevo già il seguente sviluppo in serie di Fourier;
$1/2ln[(1+sin(x))/(1-sin(x)] = sum_{k=0}^{+∞}((-1)^k)/(2k+1) sin[(2k+1)x]$.
D'altra parte è anche $1/2ln[(1+sin(x))/(1-sin(x)] = sum_{n=0}^{+∞}1/(2n+1)sin^(2n+1)(x)$.
Se allora si scrive $sin^(2k+1)(x) =((e^(ix)-e^(-ix))/(2i)^(2n+1)$ e si sviluppa la potenza, si trova per ciasuina potenza di grado dispari di $sin(x)$ l'equivalente somma di funzioni sinusoidali. Le frequenze degli addendi sinusoidali della somma che uguaglia $sin^(2k+1)(x)$ sono dispari e la massima è uguale al grado $2k+1$ della potenza di $sin(x)$ uguagliata da quella somma.
Raccogliendo allora in un sol coefficiente tutti i coefficienti degli addendi sinusoidali di uguale frequanza si ottiene appunto – a parte il segno che si alterna tra "più" e "meno" – la serie di cui si chiede il valore nel quiz!
Ma questo (a pare il segno, come già detto) ) è proprio il coefficiente del termine a quella frequenza dello sviluppo in serie di Fourier [ossia $S_(2k+1)=2/(2k+1)$].

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Non conoscevo l'uguaglianza che esponi nella premessa 1 per usarla poi nella soluzione del quiz!
[Ma da dove viene? E come fai tu a conoscerla?
Non si finisce mai di imparare! [ot][Pensa che io compirò 82 anni entro quest'anno (se non muoio prima !)] .
Vedendo la tua risposta ho pensato: «Sei forte, Cooper!».
[Ma non ti ho mai visto prima di oggi qui su "matematicamente.it"]
Ho anche pensato che ho fatto bene a mettere questo quiz, proprio per vedere eventuali soluzioni "dirette" (invece della mia che è "indiretta").[/ot]
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[cooper1]

[ot]

"Erasmus_First":[Ma da dove viene? E come fai tu a conoscerla?

l'avevo trovata un po' di tempo fa girovagando in internet studiando probabilità cercando di calcolare la media di una binomiale usando direttamente la definizione di valore atteso.

"Erasmus_First":[Pensa che io compirò 82 anni entro quest'anno (se non muoio prima !)] .
Vedendo la tua risposta ho pensato: «Sei forte, Cooper!».
[Ma non ti ho mai visto prima di oggi qui su "matematicamente.it"]

ti ringrazio per il complimento. sono più "attivo" in altre stanze e meno in questa che ho imparato ad apprezzare solo recentemente. ed auguroni in anticipo per il compleanno
è proprio vero che non si smette mai di imparare: io per esempio il tuo sviluppo di Fourier non l'avevo mai visto prima d'ora.[/ot]

[dan952]

Belle entrambe le soluzioni, ma quella di Erasmus è più bella e lui lo sa perché...