Trovare una $f(x)$ tale che...
Mi tormenta questo problema:
Dire se esiste, e in tal caso determinare, una funzione \(\displaystyle f(x) \) $!=$ \(\displaystyle 0 \) tale che $\sqrt{ \int f(x) \ \text{d}x} = \int \sqrt{f(x) } \text{d} x$
(scusate per i problemi con le immagini
)
Dire se esiste, e in tal caso determinare, una funzione \(\displaystyle f(x) \) $!=$ \(\displaystyle 0 \) tale che $\sqrt{ \int f(x) \ \text{d}x} = \int \sqrt{f(x) } \text{d} x$
(scusate per i problemi con le immagini
)
Risposte
si, scusa ho lasciato indietro "oltre alla funzione nulla".
Non so se è un problema solo mio ma non vedo le immagini che hai caricato. Non puoi semplicemente provare a scrivere usando le formule? (vedi la scatola rosa in alto). Basta mettere un \$ prima della formula e un \$ dopo, non è difficile.
"Martino":
Non so se è un problema solo mio ma non vedo le immagini che hai caricato.
Ieri sera le ho viste ed il problema era trovare $f(x)$ non identicamente nulla tale che $f(x)=\int \sqrt(f(x)) dx$.
Attendo progressi e/o idee altruiEDIT. Avevo fatto un errore di calcolo.
Anch'io non vedo più le immagini, mentre ieri le vedevo.
Dovrebbe essere una cosa del genere:
\[\sqrt{ \int f(x) \ \text{d}x} = \int \sqrt{f(x) } \text{d} x\]
@Zero87: sicuro? Io mi ricordavo diversamente... (magari sbaglio io , eh
)
Dovrebbe essere una cosa del genere:
\[\sqrt{ \int f(x) \ \text{d}x} = \int \sqrt{f(x) } \text{d} x\]
@Zero87: sicuro? Io mi ricordavo diversamente... (magari sbaglio io , eh
)
"Gi8":
@Zero87: sicuro? Io mi ricordavo diversamente... (magari sbaglio io , eh
A questo punto ci uniamo a Martino affinché l'utente inserisca le formule e chiarisca ogni dubbio, no?
Dico cosa ho pensato in questo caso:
Anche la versione di Zero87 si risolve in modo analogo trovando [tex]f(x) = x^2/4[/tex].
Ammesso che [tex]\int f(x) dx[/tex] indichi "una primitiva di [tex]f(x)[/tex]".
"Gi8":Procedo "alla buona" e senza troppi scrupoli. Derivando allegramente arrivo a [tex]4 \int f(x) dx = f(x)[/tex] quindi mi sono ridotto a una equazione differenziale che ammette (tra le altre) la soluzione [tex]f(x)=e^{4x}[/tex].
Dovrebbe essere una cosa del genere:
\[\sqrt{ \int f(x) \ \text{d}x} = \int \sqrt{f(x) } \text{d} x\]
Anche la versione di Zero87 si risolve in modo analogo trovando [tex]f(x) = x^2/4[/tex].
Ammesso che [tex]\int f(x) dx[/tex] indichi "una primitiva di [tex]f(x)[/tex]".
si $e^(4x)$ è soluzione. Mi puoi cortesemente far capire come fai a trovare le soluzioni? 
Io avevo fatto così:
Per quanto riguarda la soluzione di Martino, penso che abbia fatto una cosa del genere:
elevando al quadrato l'espressione iniziale, si ha $int f(x) dx = [int f(x)^(1/2) dx]^2$.
Derivando ambo i membri si ha $f(x)= 2 *[int f(x)^(1/2) dx] *f(x)^(1/2)$, cioè $f(x)^(1/2)= 2 *[int f(x)^(1/2) dx] $
(ovviamente la funzione deve essere sufficentemente regolare e sempre positiva)
Posto $g(x)= f(x)^(1/2)$, bisogna risolvere $g(x)= 2 int g(x) dx$.
Si risolve usando le equazioni differenziali (a livello base).
Per quanto riguarda la soluzione di Martino, penso che abbia fatto una cosa del genere:
elevando al quadrato l'espressione iniziale, si ha $int f(x) dx = [int f(x)^(1/2) dx]^2$.
Derivando ambo i membri si ha $f(x)= 2 *[int f(x)^(1/2) dx] *f(x)^(1/2)$, cioè $f(x)^(1/2)= 2 *[int f(x)^(1/2) dx] $
(ovviamente la funzione deve essere sufficentemente regolare e sempre positiva)
Posto $g(x)= f(x)^(1/2)$, bisogna risolvere $g(x)= 2 int g(x) dx$.
Si risolve usando le equazioni differenziali (a livello base).
chiarissimo grazie delle risposte a tutti
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