\( \text{Fix } T = \text{Fix } T^*\) per operatori nonespansivi

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Sia \( \mathcal{H}\) uno spazio di Hilbert e \( T: \mathcal{H} \to \mathcal{H} \) un operatore lineare e limitato nonespansivo, i.e. tale che \[ \| T x - T y \| \le \| x - y \| \quad \forall \, x,y \in \mathcal{H}. \] Definito \[ \text{Fix } T = \{ x \in \mathcal{H} \, : \, Tx =x \},\] mostrare che \( \text{Fix } T = \text{Fix } T^*\), ove \( T^*\) e' l'aggiunto di \(T\).

[Bremen000]

Provo:

1. Dalla linearità di $T$ si ha che \( \text{Fix } T\) è un sottospazio vettoriale chiuso di \(\mathcal{H} \).

2. \(T^* \) è un'isometria su \( \text{Fix } T\):

Sia \( x \in \text{Fix } T\). Per le proprietà dell'aggiunto si ha che \( \|T^*\|_{op} = \|T\|_{op} \le 1 \) e dunque in particolare \( \|T^*x\| \le \|x\| \). Inoltre se $x \ne 0$ si ha

\[ \|x\|^2 = \langle x, x \rangle = \langle Tx, x \rangle = \langle x, T^*x \rangle \le \|x\| \|T^*x\| \Rightarrow \|T^*x\| \ge \|x\| \]

Quindi \( \|T^*x\| = \|x\| \quad \forall x \in \text{Fix } T \).

3. Sia \( x \in \text{Fix } T\), allora la proiezione di \(T^*x \) su \( \text{Fix } T \) è $x$:

Sia \( y \in \text{Fix } T\), allora \[ \langle T^*x-x,y \rangle = \langle T^*x,y \rangle - \langle x,y \rangle = \langle x,Ty \rangle -\langle x,Ty \rangle =0\]

Quindi \( T^*x-x \perp y \quad \forall y \in \text{Fix } T \) e dal punto 1. si ha che la proiezione di \(T^*x \) su \( \text{Fix } T \) è $x$.

4. Sia \( x \in \text{Fix } T\), allora \(T^*x = x\):

Se fosse \(T^*x \ne x\) allora, per il punto 3, \( \|T^*x \| = \|x\| + \|T^*x-x\| > \|x\| \) in contraddizione con il punto 2.

5. \( \text{Fix } T = \text{Fix } T^* \) :

Dal punto 4. si ha che \( \text{Fix } T \subset \text{Fix } T^* \), ma poiché \( (T^*)^* = T \) si ha \( \text{Fix } T = \text{Fix } T^* \).

[dissonance]

Bello!

[dan952]

Concordo con dissonance...

[Sk_Anonymous]

@Bremen: e' corretto.

Il riferimento qui e' un librone di Analisi Convessa di Bauschke e Combettes che nel giro di qualche mese dovro' conoscere a menadito. E' una bella teoria che poi sfocia in applicazioni interessanti.

[Bremen000]

"Delirium":@Bremen: e' corretto.

Bene!

Temo, visti gli altri commenti e il fatto che sono riuscito a risolverlo, di essere incappato, mio malgrado, in un altro esercizio facile


P.S. : Sempre grazie mille a Delirium per questi esercizi!