\(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

[Sk_Anonymous]

Problema. Sia \( D \) sottoinsieme non vuoto, limitato, chiuso e convesso di uno spazio di Hilbert \( \mathcal{H}\) e sia \(T : D \to D \) un operatore nonespansivo. Mostrare che \(\text{Fix } T \ne \varnothing \).

In letteratura si trova col nome di Teorema di Browder-Göhde-Kirk.

[otta96]

C'è qualcosa che non mi torna, se $0\notinD$ e $AAx\in D, T(x) =0$ non è un controesempio?

[Sk_Anonymous]

"otta96":C'è qualcosa che non mi torna, se $0\notinD$ e $AAx\in D, T(x) =0$ non è un controesempio?

Giusta osservazione, ho corretto l'OP (il codominio e' ovviamente \(D\)).

[otta96]

Scusami ma non ho neanche capito bene che proprietà deve avere $T$, cioè deve essere la restrizione di una funzione da $H$ in $H$ tale che $||T(x)-T(y)||<=||x-y||$, e poi? Altre cose? Tipo deve essere lineare? Limitato?

[Sk_Anonymous]

"otta96":Scusami ma non ho neanche capito bene che proprietà deve avere $T$, cioè deve essere la restrizione di una funzione da $H$ in $H$ tale che $||T(x)-T(y)||<=||x-y||$, e poi? Altre cose? Tipo deve essere lineare? Limitato?

Puoi definirla come ti pare, l'importante e' che sia 1-Lip in \(D\). Non ci sono altre ipotesi - se ti confonde la parola "operatore", pensa semplicemente ad una mappa (non necessariamente lineare) tra spazi (che possono essere) funzionali. Nel nostro caso si tratta di un sottoinsieme con una geometria specifica di uno spazio di Hilbert. De facto l'OP vale in condizioni ancora piu' rilassate, ovvero quando \(\mathcal{H}\) e' uno spazio di Banach uniformemente convesso.

[otta96]

Io provo a pensarci, ma non ti garantisco nulla che con questi argomenti non sono molto ferrato...

[Sk_Anonymous]

"otta96":Io ci provo a pensarci, ma non ti garantisco nulla che con questi argomenti non sono molto ferrato...

E' un problema difficile e ci vogliono diversi ingredienti. Metto una soluzione "guidata" in spoiler.

Nelle ipotesi date \(D\) e' debolmente sequenzialmente chiuso e debolmente sequenzialmente compatto. Fissa \( x_0 \in D \) e prendi una successione \( \{\alpha_n \}_{n \in \mathbb{N} } \subseteq [0,1[ \) con \( \alpha_0 =1\) e monotonicamente (?) descrescente a \(0\). Definisci la successione di operatori \( T_n : D \to D \) mediante \( x \mapsto \alpha_n x_0 + (1-\alpha_n) T x \). I \(T_n\) sono contrazioni. Usa il teorema del punto fisso di Banach.

[dissonance]

Bello! Mi piace anche il riassunto nello spoiler, ben fatto, non è facile fare riassunti.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Bello! Mi piace anche il riassunto nello spoiler, ben fatto, non è facile fare riassunti.

Grazie!