Teorema di Levi

[Lorin1]

Nel mio lavoro di tesi mi sono imbattuto nei gruppi ordinati, in particolare ho dimostrato (in maniera alternativa a quella di Levi) il Teorema di Levi.

Un gruppo abeliano è ordinabile se e solo se è privo di torsione

Sarei curioso di vedere se qualcuno è in grado di dimostrarlo, anche riproponendo la dimostrazione di Levi, o proponendo dimostrazione alternative....poi se qualcuno è curioso posso mostrare il mio approccio, attraverso strumenti logici.

Buon divertimento

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Segnalo questo (10:35). Praticamente che un gruppo ordinabile sia privo di torsione è facile: se [tex]x < 1[/tex] allora [tex]x^n < 1[/tex] per ogni [tex]n[/tex], e se [tex]x > 1[/tex] allora [tex]x^n > 1[/tex] per ogni [tex]n[/tex], quindi se [tex]x^n=1[/tex] allora [tex]x=1[/tex].

[Lorin1]

Anzitutto grazie per avermi segnalato il video, l'ho appena visto ed è molto interessante.
Come mi aspettavo l'approccio è totalmente diverso dal mio, ma ugualmente bello.

In particolare la mia dimostrazione è divisa in passi. L'implicazione ordinabile -> privo di torsione è gratis come, giustamente, hai mostrato tu, il viceversa un pochino più complesso. Per dimostrare la condizione sufficiente ho mostrato due cose:

1)Ogni gruppo abeliano finitamente generato privo di torsione è ordinabile.

2)Sia G un gruppo. Se ogni sottogruppo finitamente generato di G è ordinabile allora G è ordinabile. (qui ho usato il teorema di compattezza).

Dimostrate queste due cose il Teorema di Levi è quasi immediato.