TdN for dummies
Se $a$ e $b$ sono coprimi allora
$(a+b, a^2 - ab + b^2) = 1$ oppure $3$
(come al solito $(\cdot, \cdot)$ indica il massimo comun divisore )
$(a+b, a^2 - ab + b^2) = 1$ oppure $3$
(come al solito $(\cdot, \cdot)$ indica il massimo comun divisore )
Risposte
Posto un problema (aperto a tutti) che ho appena inventato e che sembra adatto a questo thread.
Siano $n$ un intero positivo pari, $S\sube {1,2,...,n}$ e $|S|>n/2$. Dimostrare che esistono $x,y,z\in S$ tali che $x+y=z$.
Siano $n$ un intero positivo pari, $S\sube {1,2,...,n}$ e $|S|>n/2$. Dimostrare che esistono $x,y,z\in S$ tali che $x+y=z$.
Ma figurati +Steven+ 
.
Allora, per il problema di fields. Sia $T_1={a_1,...,a_k}$ il sottoinsieme massimale di ${1,...,n}$ tale che non esistano $x,y,z \in T_1$ tali che $x+y=z$. E sia $T_2={a_2-a_1,a_3-a_1,...,a_k-a_1}$. Allora $T_1$ e $T_2$ sono disgiunti, perché se esistessero $i \in {2,...,k}$ e $j \in {1,...,k}$ tali che $a_i-a_1=a_j$, allora si avrebbe $a_i=a_j+a_1$, contraddizione. Dunque $k+(k-1)=|T_1|+|T_2|=|T_1 \cup T_2| \le n$ e $2k-1 \le n$, cioè $k\le (n+1)/2$.
.Allora, per il problema di fields. Sia $T_1={a_1,...,a_k}$ il sottoinsieme massimale di ${1,...,n}$ tale che non esistano $x,y,z \in T_1$ tali che $x+y=z$. E sia $T_2={a_2-a_1,a_3-a_1,...,a_k-a_1}$. Allora $T_1$ e $T_2$ sono disgiunti, perché se esistessero $i \in {2,...,k}$ e $j \in {1,...,k}$ tali che $a_i-a_1=a_j$, allora si avrebbe $a_i=a_j+a_1$, contraddizione. Dunque $k+(k-1)=|T_1|+|T_2|=|T_1 \cup T_2| \le n$ e $2k-1 \le n$, cioè $k\le (n+1)/2$.
Ok, perfetto. Soluzione ben scritta, così mi piace 
. Noto che il bound è il migliore possibile, perché se la cardinalità di $S$ è $n/2$, il teorema fallisce (ad esempio prendendo come $S$ i dispari minori di $n$)
. Noto che il bound è il migliore possibile, perché se la cardinalità di $S$ è $n/2$, il teorema fallisce (ad esempio prendendo come $S$ i dispari minori di $n$)
Anche la tua soluzione è simile?
Posto anche la mia:
Sia $N={1,2,\cdots, n}$.
Esistono $x,y,z \in S$ t.c. $x+y=z$ sse esistono $x
Fissiamo il massimo $s_M \in S$ e consideriamo $Q={s_M - s_i > 0" "|" "s_i \in S}$.
Allora $Q \subset N$ e $|Q|=|S|-1$. Dunque se $|S|>n/2$ si ha, solo per $n$ pari,
$|Q|\geq n/2$, e notiamo $|N" "\setminus S|
Sia $N={1,2,\cdots, n}$.
Esistono $x,y,z \in S$ t.c. $x+y=z$ sse esistono $x
Fissiamo il massimo $s_M \in S$ e consideriamo $Q={s_M - s_i > 0" "|" "s_i \in S}$.
Allora $Q \subset N$ e $|Q|=|S|-1$. Dunque se $|S|>n/2$ si ha, solo per $n$ pari,
$|Q|\geq n/2$, e notiamo $|N" "\setminus S|
Ok anche a vl4d.
La mia soluzione e' la stessa di TomSawyer, mentre invece quella di vl4d e' chiaramente duale: prende il max invece che il min come me e TomSawyer.
La mia soluzione e' la stessa di TomSawyer, mentre invece quella di vl4d e' chiaramente duale: prende il max invece che il min come me e TomSawyer.
Vado con uno, aperto a tutti. Trovare il piu' piccolo intero positivo tale che, se si muove la prima cifra alla fine, il nuovo numero e' $3/2$ del numero originale.
Levacci deve essere impazzito.
Se non ci credete guardate il numero che ho trovato: $1176470588235294$. Funziona, ma ho qualche fondato sospetto che non sia il minimo
. La dimostrazione è come una strada nel deserto: lunga e sabbiosa. Solo di tanto in tanto qualche tumbleweed rotolante. La dimostrazione di come diavolo ho fatto a perdermi quel bellissimo numero di $n$ cifre con $n<16$, invece, rimane un mistero 
.
Se non ci credete guardate il numero che ho trovato: $1176470588235294$. Funziona, ma ho qualche fondato sospetto che non sia il minimo
. La dimostrazione è come una strada nel deserto: lunga e sabbiosa. Solo di tanto in tanto qualche tumbleweed rotolante. La dimostrazione di come diavolo ho fatto a perdermi quel bellissimo numero di $n$ cifre con $n<16$, invece, rimane un mistero .
Levacci e' perfettamente sano di mente . Purtroppo non c'e' un numero con meno cifre con quelle proprieta'.. Come l'hai ottenuto?
. Purtroppo non c'e' un numero con meno cifre con quelle proprieta'.. Come l'hai ottenuto?
Unbelievable 
. Bene, posto la dimostrazione nel pomeriggio.
. Bene, posto la dimostrazione nel pomeriggio.
Vediamo come viene...
Si deve avere $3*(sum_(i=0)^n 10^i*a_i)=2*(sum_(i=1)^n 10^i*a_(i-1)+a_n)$. Quindi risulta $(3*10^n-2)*a_n=2*(sum_(i=1)^n 10^i*a_(i-1)) - 3*(sum_(i=0)^n 10^i*a_i).$ Con qualche manipolazione RHS diventa $17*(sum_(i=0)^(n-1) 10^i*a_i)$ o equivalentemente $17*(a_(n-1) a_(n-2) ... a_1 a_0)$, quest'ultima notazione indica il numero di $n$ cifre $a_i$. Sappiamo che $a_n$ è $<=9$ quindi $17$ deve dividere $(3*10^n-2)$. Cerco il minimo $n$ per il quale risulti $3*10^n=2 (mod 17)$. Sapendo che l'inverso di $3 (mod17)$ è $6$, si deve risolvere $10^n=12 (mod 17)$. Un po' di simpatici conti e si trova $n=15$. Per trovare il minimo poniamo $a_n=1$ e troviamo le restanti cifre con $(3*10^15-2)/17$, l'idra a sedici teste che ho scritto poco sopra.
Se ho esagerato con la sintesi o con la distrazione, fatemi sapere
. I problemi proposti da tom, come al solito, sono ottimi.
Si deve avere $3*(sum_(i=0)^n 10^i*a_i)=2*(sum_(i=1)^n 10^i*a_(i-1)+a_n)$. Quindi risulta $(3*10^n-2)*a_n=2*(sum_(i=1)^n 10^i*a_(i-1)) - 3*(sum_(i=0)^n 10^i*a_i).$ Con qualche manipolazione RHS diventa $17*(sum_(i=0)^(n-1) 10^i*a_i)$ o equivalentemente $17*(a_(n-1) a_(n-2) ... a_1 a_0)$, quest'ultima notazione indica il numero di $n$ cifre $a_i$. Sappiamo che $a_n$ è $<=9$ quindi $17$ deve dividere $(3*10^n-2)$. Cerco il minimo $n$ per il quale risulti $3*10^n=2 (mod 17)$. Sapendo che l'inverso di $3 (mod17)$ è $6$, si deve risolvere $10^n=12 (mod 17)$. Un po' di simpatici conti e si trova $n=15$. Per trovare il minimo poniamo $a_n=1$ e troviamo le restanti cifre con $(3*10^15-2)/17$, l'idra a sedici teste che ho scritto poco sopra.
Se ho esagerato con la sintesi o con la distrazione, fatemi sapere
. I problemi proposti da tom, come al solito, sono ottimi.
Bella bella.. Ho bei libri da dove prendere questi problemi, che sono di facile formulazione, ma che spesso offrono soluzioni molto interessanti, come le tue.
scusa se il topic è vecchio, pero non avevo niente da fare e ,curiosando, ho visto che questi problemi stupendi vengono da un libro.
mi risulta quantomeno impossibile non chiederti il titolo di suddeto libro
grazie
mi risulta quantomeno impossibile non chiederti il titolo di suddeto libro
grazie
Problem Solving Strategies, di Arthur Engel.
grazie tom, buona giornata
"Levacci":
Vediamo come viene...
Si deve avere $3*(sum_(i=0)^n 10^i*a_i)=2*(sum_(i=1)^n 10^i*a_(i-1)+a_n)$. Quindi risulta $(3*10^n-2)*a_n=2*(sum_(i=1)^n 10^i*a_(i-1)) - 3*(sum_(i=0)^n 10^i*a_i).$ Con qualche manipolazione RHS diventa $17*(sum_(i=0)^(n-1) 10^i*a_i)$ o equivalentemente $17*(a_(n-1) a_(n-2) ... a_1 a_0)$, quest'ultima notazione indica il numero di $n$ cifre $a_i$. Sappiamo che $a_n$ è $<=9$ quindi $17$ deve dividere $(3*10^n-2)$. Cerco il minimo $n$ per il quale risulti $3*10^n=2 (mod 17)$. Sapendo che l'inverso di $3 (mod17)$ è $6$, si deve risolvere $10^n=12 (mod 17)$. Un po' di simpatici conti e si trova $n=15$. Per trovare il minimo poniamo $a_n=1$ e troviamo le restanti cifre con $(3*10^15-2)/17$, l'idra a sedici teste che ho scritto poco sopra.
Se ho esagerato con la sintesi o con la distrazione, fatemi sapere
Scusate la mia profonda ignoranza, ma il problema mi garba e vorrei capire bene la soluzione. Da dove viene questa: $(3*10^n-2)*a_n=2*(sum_(i=1)^n 10^i*a_(i-1)) - 3*(sum_(i=0)^n 10^i*a_i).$ ? Non capisco bene, non è che forse dovrebbe essere $(3*10^n-2)*a_n=2*(sum_(i=1)^n 10^i*a_(i-1)) - 3*(sum_(i=0)^(n-1) 10^i*a_i).$ ? Ho cambiato l'indice $n$ con $n-1$. Se non è così, per favore abbiate la pazienza di spiegarmi quel passaggio.
Grazie
mi sembra una critica fondata.
infatti il termine $10^na_n$ è stato portato fuori dalla sommatoria;
inoltre se non fosse cosi, non si trasformerebbe l'RHS come indicato (17 bla..bla...)
Ok grazie per la conferma fedeb...Davvero bella comunque la soluzione, complimenti a Levacci!
Dimostrare che, per ogni intero positivo $a_1>1$, esiste una successione crescente di interi positivi $a_1,a_2,...$ tale che $a_1^2+...+a_k^2$ è divisibile per $a_1+...+a_k$, per ogni $k\ge1$.
Oramai sono diventato una pippa in problemini di tdn... (mai stato granchè in effetti 
)... saranno secoli che non ne faccio uno... vediamo cosa esce fuori....
Supponiamo di essere arrivati al passaggio k_esimo e cerchiamo brutalmente $b=a_(k+1)$.
Posto $a_1+...+a_k=A$, $a_1^2+...+a_k^2=CA$, si deve trovare $b$, t.c.:
$(A+b)|CA+b^2$
visto che $b>A=>b>a_k$, poniamo $b=Ak$
$A(1+k)|CA+A^2k^2$ <= $(k+1)|C+Ak^2$
ma si trova che $(k+1)|C+AK^2<=>(k+1)|A+C$ e quindi si può trovare un tale $k$...
a parte casi banali infatti $A+C>1$...
)... saranno secoli che non ne faccio uno... vediamo cosa esce fuori....Supponiamo di essere arrivati al passaggio k_esimo e cerchiamo brutalmente $b=a_(k+1)$.
Posto $a_1+...+a_k=A$, $a_1^2+...+a_k^2=CA$, si deve trovare $b$, t.c.:
$(A+b)|CA+b^2$
visto che $b>A=>b>a_k$, poniamo $b=Ak$
$A(1+k)|CA+A^2k^2$ <= $(k+1)|C+Ak^2$
ma si trova che $(k+1)|C+AK^2<=>(k+1)|A+C$ e quindi si può trovare un tale $k$...
a parte casi banali infatti $A+C>1$...
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
- Risolvere un problema di matematica
- Riassumere un testo
- Tradurre una frase
- E molto altro ancora...
Il Tutor AI di Skuola.net usa un modello AI di Chat GPT.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Annuale
3,99€
-
Accedi a tutti gli appunti
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Trimestrale
7,99€
-
5 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Mensile
12,79€
-
3 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it