Sull'equazione del calore

[Paolo902]

Problema. Sia [tex]u \colon [0,\pi] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R}[/tex] una funzione continua, di classe $C^1([0,\pi] \times (0,+\infty))$ e $C^2((0,\pi) \times (0,+\infty))$ soluzione del problema
\[\tag{P}
\begin{cases}
u_t = u_{xx} & \text{in } (0, \pi) \times (0, +\infty) \\
u_x(0,t)=0=u_x(\pi,t) & \forall t \in (0,+\infty)
\end{cases}
\]
Si determini una formula di rappresentazione di $u$ mostrando che, in opportuni spazi funzionali, [tex]\lim_{t\to +\infty} u(\cdot,t)[/tex] è uguale alla funzione costante [tex]\frac{1}{\pi}\int_0^\pi u(0,x)dx[/tex].

Dunque, ho un dubbio sulla formulazione del problema e ho qualche idea sparsa da mettere a posto. Mi date una mano, per piacere?

Anzitutto, che vuol dire formula di rappresentazione? Scrivere esplicitamente la soluzione? Oppure si intende solo trovare una relazione, una uguaglianza, soddisfatta dalla soluzione?

Ora qualche idea mia: io non ho mai affrontato un problema del genere. Ho visto in un corso la soluzione per il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore omogenea, ma non ho mai affrontato problemi con condizioni al bordo sulle derivate.
Comunque, stasera mi sono messo lì e ho fatto un po' di conti. Ho usato il metodo di separazione delle variabili: cerchiamo soluzioni della forma fattorizzata $u(t,x)=\phi(t)\psi(x)$ dove $phi(cdot)$ e $psi(cdot)$ sono funzioni regolari, con [tex]\psi '(0)=\psi '(\pi)=0[/tex].

Comincio a risolvere il problema ai limiti relativo a $\psi$: è un classico problema di Sturm-Liouville del secondo ordine, lo si può risolvere esplicitamente (ometto i conti per ora, al massimo li inserisco alla fine, quando avremo risolto tutto). Gli autovalori del problema sono $\lambda_n=-n^2$ e le corrispondenti autofunzioni sono date da $\psi_n(x)=Acos(nx)$, con $n \in \mathbb N$.

A questo punto risolvo l'equazione in $\phi$ e trovo $\phi(t)=\phi(0)e^{-n^2t}$. In sostanza, ricomponendo tutto quanto, trovo che le funzioni
\[
u_n(t,x)=c\cos{(nx)}e^{-n^2t}
\]
sono soluzioni del problema $(P)$.

E adesso? [Da qui in poi seguo l'ispirazione poetica, sono davvero perplesso su quanto ho fatto ] In una parola, quello che ho fatto è usare il "principio di sovrapposizione". Siccome l'equazione del calore è lineare anche la
\[
u(t,x):=\sum_{n=0}^{\infty} c_n u_n(t,x)
\]
(per un'opportuna scelta dei coefficienti $c_n$) è soluzione di $(P)$. In particolare, i $c_n$ devono essere tali da garantire la buona regolarità di $u$ (e, in particolare, la convergenza uniforme su $[0,\pi]\times (0,+\infty)$). Uno allora dà un'occhiata alla tesi e si fa venire in mente: e se prendessimo come $c_n$ i coefficienti di Fourier di $u(0,x)$?
Sì, insomma, lo spazio funzionale di cui parla il testo potrebbe benissimo essere il classico $L^2(0,\pi)$, quindi... Però che sistema ortogonale prendo?

La scelta dei coefficienti di Fourier dovrebbe andare bene per le questioni di regolarità e di convergenza di cui dicevo sopra (mi pare che sia un procedimento abbastanza standard: dietro tutto c'è la regolarità di $u(0,x)$ e la disuguaglianza di Bessel). Però non so bene come concludere, sono fermo. Sinceramente, non credo manchi molto alla conclusione, forse solo qualche passaggio al limite sotto il segno di integrale...

Che dite? Ci sono fin qui? Una mano a concludere, per piacere? Grazie!


Fonte: concorso IV anno Scuola Normale Superiore di Pisa, anno accademico 2008/09.

[gugo82]

Vediamo un po'...

Considera il sistema ortonormale:
\[
\phi_n (x) := \begin{cases}
\frac{1}{\pi} & \text{, se } n=0\\
\frac{2}{\pi}\ \cos (n x) &\text{, se } n\geq 1
\end{cases}
\]
il quale è completo in \(L^2(0,\pi )\) (essenzialmente, esso è ortogonale e completo in \(L_{\text{pari}}^2 (-\pi,\pi)\) ed ogni funzione di \(L^2 (0,\pi)\) si può prolungare in maniera pari a \((-\pi,\pi)\)); inoltre è evidentissimo che \(\phi_n \in L^\infty (0,\pi)\) e che risulta:
\[
\| \phi_n\|_{L^\infty (0,\pi)} \leq \frac{2}{\pi}\; .
\]
Quindi se \(u_0(x):=u(0,t)\) è in \(L^2(0,\pi)\) si può scrivere:
\[
u_0(x)= \sum_{n=0}^\infty d_n\ \phi_n(x)
\]
con:
\[
d_n := \int_0^\pi u_0(x)\ \phi_n (x)\ \text{d} x
\]
ed in particolare risulta:
\[
d_0= \frac{1}{\pi}\ \int_0^\pi u_0(x)\ \text{d} x =: \bar{u}_0\; .
\]
Ciò importa che la funzione:
\[
u(x,t):=\sum_{n=0}^\infty d_n\ \phi_n(x)\ e^{-n^2t} = \bar{u}_0 + \sum_{n=1}^\infty d_n\ \phi_n(x)\ e^{-n^2t}
\]
risolve la PDE con le condizioni al contorno assegnate ed in più \(u(x,0)=u_0(x)\).

Ne consegue che, per \(t>0\), si ha:
\[
\begin{split}
|u(x,t)-\bar{u}_0| &= \left| \sum_{n=1}^\infty d_n\ \phi_n (x)\ e^{-n^2t}\right| \\
&\leq \sum_{n=1}^\infty |d_n|\ |\phi_n (x)|\ e^{-n^2t}\\
&\leq \frac{2}{\pi}\ \sum_{n=1}^\infty |d_n|\ e^{-n^2t}\\
&\stackrel{\text{C-S}}{\leq} \frac{2}{\pi}\ \sqrt{\sum_{n=1}^\infty |d_n|^2}\ \sqrt{ \sum_{n=1}^\infty e^{-2n^2t}}\\
&= \frac{2}{\pi}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}\ \sqrt{ \sum_{n=1}^\infty e^{-2n^2t}}
\end{split}
\]
e dunque, prendendo i quadrati dei membri esterni ed integrando rispetto a \(x\in (0,\pi)\), si trova:
\[
\| u(\cdot ,t)-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2 \leq \frac{4}{\pi}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2\ \sum_{n=1}^\infty e^{-2n^2t}\; ;
\]
visto che \(e^{-2n^2t}\leq e^{-2nt}\), la precedente implica:
\[
\begin{split}
\| u(\cdot ,t)-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2 &\leq \frac{4}{\pi}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2\ \sum_{n=1}^\infty e^{-2nt}\\
&= \frac{4}{\pi}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2\ \frac{e^{-2t}}{1-e^{-2t}}
\end{split}
\]
ossia:
\[
\tag{S} \| u(\cdot ,t)-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)} \leq \frac{2}{\sqrt{\pi}}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}\ \frac{e^{-t}}{\sqrt{1-e^{-2t}}}\; .
\]
La stima (S) evidentemente implica che, al crescere di \(t\), si ha \(\| u(\cdot ,t)-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)} \to 0\) esponenzialmente; quindi che l'applicazione \(]0,\infty[\ni t\mapsto u(\cdot ,t) \in L^2(0,\pi)\) tende verso la funzione costante \(\bar{u}_0\) (in media quadratica, ovviamente) quando \(t\to \infty\).

[Paolo902]

Anzitutto, grazie per il bellissimo post e per il tempo che hai dedicato alla questione.

Mi è praticamente tutto chiaro, vorrei solo - se posso - farti una domanda sulla primissima parte.

"gugo82":
Considera il sistema ortonormale:
[...]
il quale è completo in \(L^2(0,\pi )\) (essenzialmente, esso è ortogonale e completo in \(L_{\text{pari}}^2 (-\pi,\pi)\) ed ogni funzione di \(L^2 (0,\pi)\) si può prolungare in maniera pari a \((-\pi,\pi)\)); [...]

La domanda è molto semplice: come ti è venuto in mente di prendere proprio quel sistema? E' una cosa che dovrei sapere? L'hai costruito a mano?
Ancora, l'ortogonalità del sistema mi è chiara; per quanto riguarda la completezza, invece, il seguente ragionamento è corretto?
Il sistema $\phi_n$ è completo in \(L_{\text{pari}}^2 (-\pi,\pi)\) perchè ogni funzione pari ammette una sviluppo in serie di Fourier di soli coseni. E' corretto giustificarlo così? Tu pensavi ad altro (ad esempio, lo span del sistema è denso in \(L_{\text{pari}}^2 (-\pi,\pi)\) )?

Grazie mille di tutto.

P.S. (vagamente polemico....) Certo che però dare un problema del genere ad un concorso di ammissione...

[gugo82]

Beh, scusa, ma quel sistema l'avevi trovato tu separando le variabili!
Bastava normalizzare.

Per quanto riguarda la completezza, devo dire che sono andato vagamente ad occhio, perché se non ricordo male quello della sviluppabilità in serie di soli coseni delle funzioni \(L_{\text{pari}}^2\) è un risultato classico.

E comunque, dai, il problema non è difficilissimo in sé: si tratta di una maggiorazione in norma \(\infty\) e di una Cauchy-Schwarz.

[Paolo902]

"gugo82":Beh, scusa, ma quel sistema l'avevi trovato tu separando le variabili!
Bastava normalizzare.

Vero, non ci pensavo più... Hai solo normalizzato

"gugo82":
Per quanto riguarda la completezza, devo dire che sono andato vagamente ad occhio, perché se non ricordo male quello della sviluppabilità in serie di soli coseni delle funzioni \(L_{\text{pari}}^2\) è un risultato classico.

Capisco. Quello che citi è un risultato che - sebbene facilmente intuibile - non conoscevo. Cercherò da qualche parte per maggiori info.

"gugo82":E comunque, dai, il problema non è difficilissimo in sé: si tratta di una maggiorazione in norma \(\infty\) e di una Cauchy-Schwarz.

Hai ragione, non è difficilissimo in sé; tuttavia è un problema articolato e (abbastanza) lungo. Inoltre, devo essere sincero: sono riuscito almeno a cominciarlo perché ho studiato il metodo di separazione delle variabili. Ma se uno non sa questo come fa a partire? Non parte e tanti saluti

Grazie ancora

[dissonance]

"Paolo90":sono riuscito almeno a cominciarlo perché ho studiato il metodo di separazione delle variabili. Ma se uno non sa questo come fa a partire?

Nessun problema: basta avere fatto la triennale in Normale e lo avrai visto di sicuro.