Su cosa sto pensando?
Ciao!
Se volessi trovare una funzione tale che $f(x)=f(1/x)=f(1-x)$.. come farei a trovarla?
In particolare, c'è una qualche branca della matematica che studia questo genere di problemi?
Se volessi trovare una funzione tale che $f(x)=f(1/x)=f(1-x)$.. come farei a trovarla?
In particolare, c'è una qualche branca della matematica che studia questo genere di problemi?
Risposte
Ciao. Intanto $f(x)=f(1-x)$ significa che la funzione è simmetrica rispetto alla retta $x=1$ (pensa il perchè). Per quanto riguarda la branca della matematica direi semplicemente l'analisi.
Per quanto riguarda $f(1/x)$ puoi intanto pensare alle CE (che in realtà devi considerare anche nell'altro caso).
Prova a disegnare qua qualche funzione per capire (ad esempio $e^x$ in blu e $e^(-x)$ in rosso.
Prova a disegnare qua qualche funzione per capire (ad esempio $e^x$ in blu e $e^(-x)$ in rosso.
Comunque per darti una risposta:
Noto che $1/x=x^(-1)$ e che $log x^a=a*log x$ da cui $log x^(-1)=-log x$. Quindi se $f(x)= log x$ si ha $f(x)=-f(1/x)$ e aggiungendo un valore assoluto risolvi questo problema. Quindi se $f(x)= |log x|$, allora $f(x)=f(1/x)$. Però ora abbiamo due problemi:
1) non ti riesco a dimostrare l'unicità di questa soluzione
2) devo unire la condizione $f(x)=f(1-x)$
Noto che $1/x=x^(-1)$ e che $log x^a=a*log x$ da cui $log x^(-1)=-log x$. Quindi se $f(x)= log x$ si ha $f(x)=-f(1/x)$ e aggiungendo un valore assoluto risolvi questo problema. Quindi se $f(x)= |log x|$, allora $f(x)=f(1/x)$. Però ora abbiamo due problemi:
1) non ti riesco a dimostrare l'unicità di questa soluzione
2) devo unire la condizione $f(x)=f(1-x)$
Nell'insieme [tex]A = \{x \in \mathbb{R}\ :\ x \neq 0,1\}[/tex] le due funzioni [tex]x \mapsto 1/x[/tex] e [tex]x \mapsto 1-x[/tex] agiscono e iterando una sequenza di queste due partendo da [tex]x[/tex] si ottiene un insieme di (al più) sei elementi,
\[
A_x = \{x,1/x,1-x,1/(1-x),(x-1)/x,x/(x-1)\}
\]
Questi [tex]A_x[/tex] formano una partizione di [tex]A[/tex] e per ottenere una funzione come dici basta scegliere, per ogni [tex]x \in A[/tex], un valore [tex]a_x[/tex] che sia lo stesso per ogni elemento di [tex]A_x[/tex], cioe' tale che [tex]a_x=a_y[/tex] se [tex]y \in A_x[/tex], e allora la funzione [tex]x \mapsto a_x[/tex] rispetta la tua richiesta. Tutte le funzioni che la rispettano si possono costruire cosi'. Non so se ce ne siano di "regolari".
\[
A_x = \{x,1/x,1-x,1/(1-x),(x-1)/x,x/(x-1)\}
\]
Questi [tex]A_x[/tex] formano una partizione di [tex]A[/tex] e per ottenere una funzione come dici basta scegliere, per ogni [tex]x \in A[/tex], un valore [tex]a_x[/tex] che sia lo stesso per ogni elemento di [tex]A_x[/tex], cioe' tale che [tex]a_x=a_y[/tex] se [tex]y \in A_x[/tex], e allora la funzione [tex]x \mapsto a_x[/tex] rispetta la tua richiesta. Tutte le funzioni che la rispettano si possono costruire cosi'. Non so se ce ne siano di "regolari".
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