Strano integrale indefinito

[leprep98]

Ciao, vi propongo questo interessante integrale da risolvere.
$int(arctan(sinhx)) / (arcsin(tanhx))dx$

[dan952]

Attento che quello è un integrale indefinito

[leprep98]

"dan95":Attento che quello è un integrale indefinito

Che sbadato, grazie
ho corretto il titolo

[leprep98]

Ecco la soluzione

$arctan(sinh(x))$ rappresenta un angolo generico $theta$.
Per cui $theta=arctan(sinh(x))$ $hArr$ $tan(theta)=sinh(x)$.
La tangente di un angolo in un triangolo rettangolo è uguale la lato opposto all'angolo ($theta$) fratto il lato adiacente, di conseguenza $tan(theta)=sinh(x)/1$
Possiamo calcolare anche il seno di theta come il lato opposto a theta fratto l'ipotenusa.
Tramite il teorema di pitagora si ha che l'ipotenusa vale $sqrt(1+sinh^2(x))$ ovvero $sqrt(cosh^2(x))$ semplificando otteniamo $cosh(x)$.
Per cui $sin(theta)=sinh(x)/cosh(x)=tanh(x)$ quindi in definitiva $theta=arcsin(tanh(x))$ abbiamo così dimostrato che $arctan(sinh(x))=arcsin(tanh(x))$ ciò implica che $int(arctan(sinhx)) / (arcsin(tanhx))dx=int1dx=x+C$