[Sissa 09] Sulla serie di $\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}$

[Steven11]

Siano date due serie a termini positivi (strettamente) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$
Confutare o dimostrare che

1) Se almeno una delle due serie converge, allora la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}$ converge.
E questo è banale.


2) Se entrambe le serie divergono, allora la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}$ diverge.

A essere sincero, io a senso ho subito provato a confutare la seconda con qualche esempio, ma non ci sono riuscito.
Né in realtà mi sono molto dedicato a mostrare che la divergenza vi è sempre.
Il termine generale della terza serie è una media armonica (la metà, anzi) dei due termini della prima e seconda , ma questo mi è servito ben poco, nonostante le diseguaglianze note sulla media armonica.

A voi

[Paolo902]

Oh chi si vede

"Steven":Siano date due serie a termini positivi (strettamente) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$
Confutare o dimostrare che

1) Se almeno una delle due serie converge, allora la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}$ converge.
E questo è banale.

Ste, posso confessarti che non lo vedo? Non ci ho pensato a lungo, è vero, ma non sono riuscito a concludere nulla, né in un senso, né nell'altro

Bel problema, comunque.

[DajeForte]

Ciao.

Per il due ho fatto due rapidi conti a mente (quindi potrei sbagliare) ma vi direi di andare per "può convergere". Quindi controesempio.

[Rigel1]

1) Vero: $\frac{a_n b_n}{a_n + b_n} \le "min" \{a_n, b_n\}$.
2) Falso: $a_n = 1$ se $n$ è pari, $0$ se $n$ è dispari, mentre $b_n=0$ se $n$ è pari, $1$ se $n$ è dispari.

[Steven11]

"Rigel":

2) Falso: $a_n = 1$ se $n$ è pari, $0$ se $n$ è dispari, mentre $b_n=0$ se $n$ è pari, $1$ se $n$ è dispari.

Da spararsi per non averci pensato, insomma.
Ho buttato qualche fogliaccio con prove di serie armoniche, geometriche e famose varie.
Grazie Rigel!

@Paolo: se scopro che ti sei impelagato con criteri del rapporto o roba simile vengo ad acchiapparti fino a Torino
In realtà, come ha scritto Rigel, quella serie la controlli dall'alto con entrambe le due di partenza, quindi a maggior ragione con quella convergente.

[Gi81]

Perdonatemi, ma le serie non devono essere a termini positivi (strettamente)?

[j18eos]

Infatti, lo sono Gi8; altrimenti il denominatore si potrebbe annullare!

Forse ti riferisci al secondo esempio di Rigel? In effetti non è accettabile.

[Gi81]

Ok, allora il controesempio del punto 2 scritto da Rigel non va bene

[Steven11]

Vero, non ci avevo fatto caso, ma si rimedia senza problemi sostituendo $\frac{1}{n^2}$ laddove Rigel aveva scritto $0$.

La terza serie diventa, per ogni naturale, a termini del tipo
$\frac{\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}$ ovvero $\frac{1}{1+n^2}$, modulo errori di calcolo. Quindi convergente.

[DajeForte]

Esatto, era simile alle serie che avevo pensato. L'idea, omai chiara, è di costruirle divergenti/convergenti speculari, in maniera che sotto media la parte convergente predomini dando convergenza

[Rigel1]

Avete ragione, perdonate la svista
Comunque, come già suggerito da qualcuno, basta mettere un termine sufficientemente piccolo al posto dello $0$.

[Paolo902]

Scusatemi, ma temo di essermi rimbecillito.

"Rigel":

1) Vero: $\frac{a_n b_n}{a_n + b_n} \le "min" \{a_n, b_n\}$.

Scusami, Rigel, ma che cosa stai usando? Io ricordavo che la disuguaglianza tra medie fosse $"min" \{a_n, b_n\} \le \frac{2a_n b_n}{a_n + b_n}$; che cosa mi perdo 'sta volta?

Grazie.

[Rigel1]

Se $a,b > 0$, allora $\frac{ab}{a+b} < \frac{ab}{a} = b$; analogamente, $\frac{ab}{a+b} < \frac{ab}{b} = a$.

[Paolo902]

"Rigel":

Se $a,b > 0$, allora $\frac{ab}{a+b} < \frac{ab}{a} = b$; analogamente, $\frac{ab}{a+b} < \frac{ab}{b} = a$.

Ok, vedo con piacere che ho sempre un certo stile ad annegare in una pozzanghera.
Grazie e scusate la domanda idiota.