Sissa '04 e '05 [Eq diff. & Alg. lin.]
Intanto un saluto a tutti... spero che le vacanze vi siano andate
bene... ma purtroppo (o finalmente?!) è giunta l'ora di ricominciare:
1) Nello spazio vettoriale $V=M_2(RR)$ delle matrici 2x2 reali,
consideriamo la forma bilineare simmetrica $b(A,B)=tr(A,B)$.
Calcolare la segnatura della forma quadratica associata a $b$
2) per ogni $a>0$ sia $y_a$ la soluzione del problema di Cauchy
$y'=y^2-y^6$ con $y(0)=a$. Mostrare che $y_a$ è sempre definita in
$[0,\infty)$ e che $lim_{x->\infty}y_a=1$
bene... ma purtroppo (o finalmente?!) è giunta l'ora di ricominciare:
1) Nello spazio vettoriale $V=M_2(RR)$ delle matrici 2x2 reali,
consideriamo la forma bilineare simmetrica $b(A,B)=tr(A,B)$.
Calcolare la segnatura della forma quadratica associata a $b$
2) per ogni $a>0$ sia $y_a$ la soluzione del problema di Cauchy
$y'=y^2-y^6$ con $y(0)=a$. Mostrare che $y_a$ è sempre definita in
$[0,\infty)$ e che $lim_{x->\infty}y_a=1$
Risposte
Per il 2) è abbastanza facile vedere che la soluzione massimale è definita almeno su tutto $[0,+\infty)$; infatti $y=0$ e $y=1$ sono due soluzioni dell'equazione data con dato $y(0)=0$ e $y(0)=1$. Ora se $a \in (0,1)$ la soluzione è monotona non decrescente, per cui deve prolungarsi fino a $+\infty$ non potendo intersecare $y=1$. Se $a>1$ la soluzione è monotona non crescente e non può intersecare ancora $y=1$ per cui è prolungabile fino a $+\infty$ anch'essa.
Terminando il punto 2) basta scrivere la soluzione come
$y(x)=a+\int_0^x y'(s)ds=a+\int_0^x [y^2(s)(1-y^4(s))]ds$. Ora per monotonia $y \to c \in \RR$ quando $x \to +\infty$; dunque l'integranda tende a $c^2(1-c^4)$. Ma dovendo essere quell'integrale convergente (il primo membro tende a $c$) ed esistendo il limite dell'integranda, deve essere $c^2(1-c^4)=0$, per cui $c=1$, non potendo essere $c=0$.
P.S. Esercizio SISSA, vero? Riconosco lo stile...
$y(x)=a+\int_0^x y'(s)ds=a+\int_0^x [y^2(s)(1-y^4(s))]ds$. Ora per monotonia $y \to c \in \RR$ quando $x \to +\infty$; dunque l'integranda tende a $c^2(1-c^4)$. Ma dovendo essere quell'integrale convergente (il primo membro tende a $c$) ed esistendo il limite dell'integranda, deve essere $c^2(1-c^4)=0$, per cui $c=1$, non potendo essere $c=0$.
P.S. Esercizio SISSA, vero? Riconosco lo stile...
già... per la SISSA, anche se ho deciso di non farte neanche il test di ammissione...
ho parlato coi miei prof e mi hanno consigliato tutti di restare a Roma, per quello
che voglio fare io...
e poi a dirla tutta ho studiato talmente poco st'estate che non ho proprio voglia
di rischiare una figuraccia!
ho parlato coi miei prof e mi hanno consigliato tutti di restare a Roma, per quello
che voglio fare io...
e poi a dirla tutta ho studiato talmente poco st'estate che non ho proprio voglia
di rischiare una figuraccia!
E' un peccato, un giovane come te alla SISSA avrebbe già la carriera in pugno. Rimane vero il fatto non trascurabile che il PhD in SISSA contempla solo ed esclusivamente alcune aree dell'Analisi funzionale, per cui avresti comunque dovuto cambiare settore.
Tanti auguri per la laurea specialistica.
Tanti auguri per la laurea specialistica.
Auguri anche da parte mia Valerio, sono sicuro che sarà un altro 110 e lode come la triennale!!
@ uber e non dici niente ? con un 110 e lode in Matematica !
CONGRATULAZIONI
CONGRATULAZIONI
mi sono laureato a Luglio...
fra l'altro Luca, ho da farti una domanda... non te la faccio in privato perchè magari può rispondere
qualcun altro. Secondo te (voi) i seguenti corsi
http://www.mat.uniroma1.it/mat_cms/pres ... a=italiano
http://www.mat.uniroma1.it/mat_cms/pres ... a=italiano
necessitano di qualche conoscenza preliminare in analisi funzionale?
fra l'altro Luca, ho da farti una domanda... non te la faccio in privato perchè magari può rispondere
qualcun altro. Secondo te (voi) i seguenti corsi
http://www.mat.uniroma1.it/mat_cms/pres ... a=italiano
http://www.mat.uniroma1.it/mat_cms/pres ... a=italiano
necessitano di qualche conoscenza preliminare in analisi funzionale?
Il corso sulle algebre di operatori richiede la teoria degli operatori nel caso lineare almeno, che non so se hai già visto da qualche parte.
Il corso di Analisi non lineare è più tosto e richiede almeno l'Analisi funzionale lineare di base, quindi Spazi di Banach, Hilbert, funzionali lineari e continui e operatori limitati e non.
Il corso di Analisi non lineare è più tosto e richiede almeno l'Analisi funzionale lineare di base, quindi Spazi di Banach, Hilbert, funzionali lineari e continui e operatori limitati e non.
"Camillo":
@ uber e non dici niente ? con un 110 e lode in Matematica !
Vero... uber potevi renderci partecipi prima della cosa
In ogni caso complimenti e i migliori auguri per un'ottima carriera in campo matematico!!
Ad maiora
La SISSA prende anche per la specialistica? Non fa solo corsi di dottorato?
Ha sempre fatto solo programma di PhD, non essendo un'Università, e fra l'altro non rilascia il titolo ufficiale di dottore di ricerca in Matematica, in quanto in Italia solamente un'Università, per legge, può rilasciare tale titolo. Ma ai fini concorsuali il titolo di PhD rilasciato dalla SISSA equivale a quello di dottore di ricerca.
Quanto alla laurea, credo che da due anni a questa parte abbia istituito la laurea specialistica in Matematica che si tiene proprio in SISSA, non all'Università di Trieste, come per esempio succede per la Scuola Normale. Per accedervi con borsa è ovviamente necessaria una selezione, che credo sia abbastanza dura.
Quanto alla laurea, credo che da due anni a questa parte abbia istituito la laurea specialistica in Matematica che si tiene proprio in SISSA, non all'Università di Trieste, come per esempio succede per la Scuola Normale. Per accedervi con borsa è ovviamente necessaria una selezione, che credo sia abbastanza dura.
dal 2004 si può fare anche la laurea Magistrale (specialistica) in SISSA.
Per quanto riguarda la selezione, bisogna ammettere che è meno dura di molte altre (vedi Normale, o Borsa INDAM)...
per curiosità potete farvi un'idea a http://www.sissa.it/fa/lauree/Esercizi-LS-05.pdf
ciao
Per quanto riguarda la selezione, bisogna ammettere che è meno dura di molte altre (vedi Normale, o Borsa INDAM)...
per curiosità potete farvi un'idea a http://www.sissa.it/fa/lauree/Esercizi-LS-05.pdf
ciao
Ho visitato il sito, praticamente organizzano dei corsi che sostituiscono quelli che faresti in una università tradizionale, tuttavia devi essere già iscritto da un'altra parte per fare richiesta di entrarvi, e il periodo in cui la frequenti può essere anche solo di un mese.
mi riferisco principalmente a Luca:
dove posso trovare qualcosa sugli operatori lineari?... insomma il corso di algebre di operatori mi stuzzica parecchio e siccome mancano due settimane all'inizio dei corsi avrei tempo per vedere i "preliminari"
dove posso trovare qualcosa sugli operatori lineari?... insomma il corso di algebre di operatori mi stuzzica parecchio e siccome mancano due settimane all'inizio dei corsi avrei tempo per vedere i "preliminari"
Brezis, Analisi funzionale e applicazioni- Liguori Editore. E' d'obbligo per un matematico studiare il Brezis; meno si potrebbe dire per un ingegnere, e so bene che Camillo concorda con questo...
Anzitutto spero che tu abbia fatto Analisi Reale (farla in contemporanea è SCONSIGLIATISSIMO!)
Poi per i libri di analisi funzionale ci sono anche altre possibilità. Il Brezis forse è un must, ma personalmente non è che lo adori...
Il Rudin (n.3, Functional Analysis) è carino ma è un po' tosto (molto astratto, forse troppo conciso ed esercizi decisamente difficili). poi c'è lo Yoshida, il Kolmogorov-Fomin, il Lax (altro tosto...)
C'è un mio amico (se vuoi in privato ti dico chi, così gli puoi chiedere) che ha frequentato Algebre di Operatori e Meccanica Quantistica senza aver fatto Analisi Funzionale, però sinceramente non so come si è trovato e quanto ha dovuto recuperare... forse l'unica è chiedere proprio direttamente al prof. se c'è qualche prerequisito specifico. Personalmente questi corsi mi sono stati sconsigliati... non per gli argomenti, che sono interessanti, ma per altro tipo di problemi che non è il caso di discutere in questa sede.
Poi per i libri di analisi funzionale ci sono anche altre possibilità. Il Brezis forse è un must, ma personalmente non è che lo adori...
Il Rudin (n.3, Functional Analysis) è carino ma è un po' tosto (molto astratto, forse troppo conciso ed esercizi decisamente difficili). poi c'è lo Yoshida, il Kolmogorov-Fomin, il Lax (altro tosto...)
C'è un mio amico (se vuoi in privato ti dico chi, così gli puoi chiedere) che ha frequentato Algebre di Operatori e Meccanica Quantistica senza aver fatto Analisi Funzionale, però sinceramente non so come si è trovato e quanto ha dovuto recuperare... forse l'unica è chiedere proprio direttamente al prof. se c'è qualche prerequisito specifico. Personalmente questi corsi mi sono stati sconsigliati... non per gli argomenti, che sono interessanti, ma per altro tipo di problemi che non è il caso di discutere in questa sede.
Non serve aver fatto Analisi reale, per comprendere la Teoria degli operatori lineari basta l'Analisi 2.
Quanto al Brezi sono gusti; per me e' invece un punto di riferimento, ed e' vero, sempre secondo me, cio' che dice E.Magenes nell'introduzione, ovvero che si tratta del piu' bel libro di Analisi funzionale lineare fino ad oggi scritto.
Il Rudin, sebbene molto completo, e' decisamente fuori dalla portata di chi si affaccia per la prima volta sull'Analisi funzionale. Lo Yosida va gia' meglio, ma la chiarezza espositiva del Brezis secondo me non ha confronto.
Quanto al Brezi sono gusti; per me e' invece un punto di riferimento, ed e' vero, sempre secondo me, cio' che dice E.Magenes nell'introduzione, ovvero che si tratta del piu' bel libro di Analisi funzionale lineare fino ad oggi scritto.
Il Rudin, sebbene molto completo, e' decisamente fuori dalla portata di chi si affaccia per la prima volta sull'Analisi funzionale. Lo Yosida va gia' meglio, ma la chiarezza espositiva del Brezis secondo me non ha confronto.
"Luca.Lussardi":
Brezis, Analisi funzionale e applicazioni- Liguori Editore. E' d'obbligo per un matematico studiare il Brezis; meno si potrebbe dire per un ingegnere, e so bene che Camillo concorda con questo...
Piacerebbe anche a me studiarlo, ma il primo impatto non è stato dei migliori...
No, io dicevo che non può fare Analisi Reale insieme ad Algebre di Operatori (penso che Doplicher utilizzi almeno L^2...)
Se fosse stato Analisi Funzionale (quello di base) sarei stata sicura che non viene utlizzata l'Analisi Reale...
Se fosse stato Analisi Funzionale (quello di base) sarei stata sicura che non viene utlizzata l'Analisi Reale...
Ah ok, ma credo che ubermensch conosca gia' gli spazi $L^p$, ha gia' in mano una laurea triennale...
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