Sfida tosta
Quesito di un professore, che sostiene di non aver trovato mai nessuno che sa risolvere questo problema...
Trovare la classe limite della successione [tex]n*sin(n)[/tex]
Ovviamente sappiamo che gli infiniti ci appartengono, la sfida è trovare se contiene anche qualcos'altro!!
Buon divertimento!!
Trovare la classe limite della successione [tex]n*sin(n)[/tex]
Ovviamente sappiamo che gli infiniti ci appartengono, la sfida è trovare se contiene anche qualcos'altro!!
Buon divertimento!!
Risposte
Mi è venuta un'idea che risolve il problema in \(\displaystyle4\) battute, ma devo controllare che sia corretta...
...e comunque, se la memoria non m'inganna: il problema già fu proposto!
EDIT Idea semplicemente errata!
...e comunque, se la memoria non m'inganna: il problema già fu proposto!
EDIT Idea semplicemente errata!
Non capisco il motivo Rigel...
Il fatto che io abbia una sottosuccessione che va arbitrariamente vicino a zero non mi dice che riesca a "tirarsi dietro" il fatto che n va a infinito! potrei avere per esempio che qualunque sottosuccessione tendente a zero prenda termini dell'ordine di [tex]\frac{1}{\sqrt(n)}[/tex] e a quel punto salta tutto, o sbaglio? mi sfugge l'implicazione
Il fatto che io abbia una sottosuccessione che va arbitrariamente vicino a zero non mi dice che riesca a "tirarsi dietro" il fatto che n va a infinito! potrei avere per esempio che qualunque sottosuccessione tendente a zero prenda termini dell'ordine di [tex]\frac{1}{\sqrt(n)}[/tex] e a quel punto salta tutto, o sbaglio? mi sfugge l'implicazione
Sì scusa, hai ragione.
Temo sia necessario lavorare un po' con le approssimazioni diofantine (ad esempio, non dovrebbe essere difficile dimostrare che \(0\) sta nella classe limite):
approssimazione diofantina
misura di irrazionalità
Così su due piedi non sono in grado di dire quanto sia difficile individuare tutta la classe limite (so che esistono casi in cui questa non è nota).
Temo sia necessario lavorare un po' con le approssimazioni diofantine (ad esempio, non dovrebbe essere difficile dimostrare che \(0\) sta nella classe limite):
approssimazione diofantina
misura di irrazionalità
Così su due piedi non sono in grado di dire quanto sia difficile individuare tutta la classe limite (so che esistono casi in cui questa non è nota).
Grazie mille! una miniera che non conoscevo. Se trovi altre idee fammi sapere grazie 
Un mio amico mi ha suggerito un'idea, cosa succede se usiamo come sottosuccessione la parte intera di [tex]2k \pi[/tex] ? O di [tex]10^k \pi[/tex] ?
scusate la mia ignoranza: cos'è una classe?
@AngeloPat: la classe limite è l'insieme di tutti i limiti sottosuccessionali di una data successione.
@Maldenbrot: come sospettavo si tratta di un problema aperto. Puoi sempre chiedere al tuo professore di mostrarti la sua soluzione
@Maldenbrot: come sospettavo si tratta di un problema aperto. Puoi sempre chiedere al tuo professore di mostrarti la sua soluzione
Rigel perché dici che si tratta di un problema aperto? Potresti dare una fonte?
Purtroppo non ho una fonte, al momento.
Ne ho parlato casualmente ieri, durante una pausa caffé, con un professore che mi ha detto che si tratta di un problema aperto; ad esempio, non è noto se \(1\) appartiene o meno alla classe limite.
Ne ho parlato casualmente ieri, durante una pausa caffé, con un professore che mi ha detto che si tratta di un problema aperto; ad esempio, non è noto se \(1\) appartiene o meno alla classe limite.
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