Serie aletoria
Un esercizio carino alla portata di tutti!
Non estremamente difficile, che si risolve per vie abbastanza classiche, ma secondo me istruttivo dal punto di vista "morale". Se uno ci pensa a posteriori è abbastanza naturale l'affermazione complementare alla seguente:
"Sia $X_n, n\in\mathbb{N}$ una sequenza aleatoria i.i.d. tali che $\sum_{n\in\mathbb{N}} X_n$ converge $\mathbb{P}$-q.c.
Provare che $X_n=0$, $\mathbb{P}$-q.c. "
[ovviamente dispongo della soluzione
]
Non estremamente difficile, che si risolve per vie abbastanza classiche, ma secondo me istruttivo dal punto di vista "morale". Se uno ci pensa a posteriori è abbastanza naturale l'affermazione complementare alla seguente:
"Sia $X_n, n\in\mathbb{N}$ una sequenza aleatoria i.i.d. tali che $\sum_{n\in\mathbb{N}} X_n$ converge $\mathbb{P}$-q.c.
Provare che $X_n=0$, $\mathbb{P}$-q.c. "
[ovviamente dispongo della soluzione
]
Risposte
Effettivamente...
Pensiamo ad un caso ragionevole: Catene di Markov e consideriamone una semplice vente come spazio degli stati ${0,1}$ e
$X_1=1$ P-qc,
$P(X_n=0|X_{n-1}=0)=1$.
$P(X_n=0|X_{n-1}=1)=1/n$ e $P(X_n=1|X_{n-1}=0)=1-1/n$.
Ovvero la catena di Markov che parte da uno e se hai fortuna per i primi tiri starai probabilmente in uno.
Osserviamo che $P(X_n>\delta)=P(X_n=1)=\prod_{i=2}^n \frac{i-1}{i}=1/n$ e dunque $X_n\to 0$ in probabilità.
Inoltre $|X_{n+k}-X_n|>\epsilon$ se e solo se $|X_{n+k}-X_n|=1$ se e solo se $X_{n+k}=0$ e $X_n=1$ qc (in quanto se $X_{n}=0$ allora $X_{n+k}=o$ qc). Ma se $X_{n}=0$ allora $X_{n+1}=0$ qc da cui concludiamo che per $N$ sufficientemente grande $|X_{N+k}-X_N|=0\leq\epsilon$ per ogni $k>0$ ovvero la successione è qc di Cauchy. Dunque $X_n\to 0$ qc e per come hai detto te anche te $\sum_n 1_{X_n>\delta}$ converge qc ma $E(\sum_n 1_{X_n>\delta})=\sum_nP(X_n>\delta)=\sum_n1/n=\infty$ e dunque non è integrabile. O no?
Pensiamo ad un caso ragionevole: Catene di Markov e consideriamone una semplice vente come spazio degli stati ${0,1}$ e
$X_1=1$ P-qc,
$P(X_n=0|X_{n-1}=0)=1$.
$P(X_n=0|X_{n-1}=1)=1/n$ e $P(X_n=1|X_{n-1}=0)=1-1/n$.
Ovvero la catena di Markov che parte da uno e se hai fortuna per i primi tiri starai probabilmente in uno.
Osserviamo che $P(X_n>\delta)=P(X_n=1)=\prod_{i=2}^n \frac{i-1}{i}=1/n$ e dunque $X_n\to 0$ in probabilità.
Inoltre $|X_{n+k}-X_n|>\epsilon$ se e solo se $|X_{n+k}-X_n|=1$ se e solo se $X_{n+k}=0$ e $X_n=1$ qc (in quanto se $X_{n}=0$ allora $X_{n+k}=o$ qc). Ma se $X_{n}=0$ allora $X_{n+1}=0$ qc da cui concludiamo che per $N$ sufficientemente grande $|X_{N+k}-X_N|=0\leq\epsilon$ per ogni $k>0$ ovvero la successione è qc di Cauchy. Dunque $X_n\to 0$ qc e per come hai detto te anche te $\sum_n 1_{X_n>\delta}$ converge qc ma $E(\sum_n 1_{X_n>\delta})=\sum_nP(X_n>\delta)=\sum_n1/n=\infty$ e dunque non è integrabile. O no?
Si, mi pare il tuo esempio funzioni bene. Non ho solo capito come dimostri la convergenza a 0. Ovvero quando dici che per N grande concludiamo che è Cauchy.
Comunque si ottiene la convergenza q.c. osservando che la successione è q.c. decrescente e limitata; dunque converge.
Comunque si ottiene la convergenza q.c. osservando che la successione è q.c. decrescente e limitata; dunque converge.
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