Sequenza Ricorsiva

[ingres]

Questo post di Alex
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=226995
mi ha fatto ricordare un problema simile, che posto qui.

Sia data la sequenza per $n ge 1$

$x_(n+1) = x_n *cos(y_n) - y_n*sin(y_n)$
$y_(n+1) = x_n *sin(y_n) + y_n*cos(y_n)$

con $x_1 = 4/5$ , $y_1=3/5$.

Determinare, se esistono, $lim_(n to infty) x_n$ , $lim_(n to infty) y_n$.

[megas_archon]

Forse un modo elegante di iniziare è questo: pensando alla coppia \((x_n,y_n)\) come alle coordinate Cartesiane di un numero complesso \(z_n = x_n + iy_n\), la successione definita per ricorrenza è questa:
\[\begin{cases}
z_1 = \frac{1}{5}(4+3i)\\
z_{n+1} = e^{i y_n}z_n
\end{cases}\] del resto da questo segue che \(z_2 = e^{iy_1}z_1\), \(z_3=e^{iy_2}z_2=e^{iy_2}e^{iy_1}z_1\), etc., da cui \(z_n = e^{ik_n}z_1\), dove \(k_n := \sum_{j=1}^{n-1}y_j\), e ora dovrebbe esistere un modo di stimare la somma di questa serie (chiaramente, dato che \(z_n = e^{ik_n}z_1\), si ha che \(\lim_n z_n = e^{i \lim_n k_n} z_1\)).

[ingres]

Ciao meghas_archon
non avevo usato la forma complessa, ma di primo acchito mi sembra un'ottima idea perchè fa arrivare subito al cuore del problema ovvero la stima di quella sommatoria.

[2e543318e6a8602051219b452505a7c0b11de594]

L'idea in realtà è un evergreen, mi ricorda quello che è stato fatto qui, a pagina 13: https://arxiv.org/pdf/2208.02622.pdf