Scuola Superiore di Udine, domanda all'orale (il mio)
Prima domanda, orale di matematica, nemmeno mi ero ancora seduto quasi 
Consideri la funzione $g(x)=frac{x+x^2}{2}$
Dica se è possibile, e se sì quanto vale, calcolare:
$\int_0^1 g^(-1)(x) dx$
intendendo $g^-1(x)$ la funzione inversa di $g(x)$.
Consiglio: lavorare sul grafico.
Buon divertimento
Consideri la funzione $g(x)=frac{x+x^2}{2}$
Dica se è possibile, e se sì quanto vale, calcolare:
$\int_0^1 g^(-1)(x) dx$
intendendo $g^-1(x)$ la funzione inversa di $g(x)$.
Consiglio: lavorare sul grafico.
Buon divertimento
Risposte
hai saputo rispondere?
Ma $g(x)$ l'inversa non ce l'ha, o sbaglio?
eh si in generale no perchè è 1a parobola...però in $[0,1]$ è invertibile...
"neopeppe89":
eh si in generale no perchè è 1a parobola...però in $[0,1]$ è invertibile...
Esatto.
"Andrearufus":
hai saputo rispondere?
No.
Ciao.
non riesco nemmeno a trovare $g^-1$....
ma non serve trovare l'inversa...eccoo!!!
Allora $[g^-1(x)]'=1/(f'(x))=>\int g^-1dx=\int int (g^-1(x))'dx=\int int 1/(f'(x))dx$!!!giusto???
Allora $[g^-1(x)]'=1/(f'(x))=>\int g^-1dx=\int int (g^-1(x))'dx=\int int 1/(f'(x))dx$!!!giusto???
"neopeppe89":
eh si in generale no perchè è 1a parobola...però in $[0,1]$ è invertibile...
Questo non vuol dire niente.
La domanda è di suo poco precisa, perché una funzione resta definita a patto che vengano assegnati dominio e codominio. Nel caso in cui ciò non accada, si conviene che il dominio sia la più grande parte di $RR$ in cui abbia senso "operare" e il codominio viene identificato nell'immagine della funzione. Premesso questo, che la $g$ sia invertibile in $[0;1]$ non vuol dire niente, perché ridotto il dominio a $[0;1]$ si sta considerando una restrizione di $g$, mentre nella domanda posta si vuole l'inversa di $g$.
Io avrei risposto dicendo che la domanda è mal posta.
"neopeppe89":
ma non serve trovare l'inversa...eccoo!!!
Allora $[g^-1(x)]'=1/(f'(x))=>\int g^-1dx=\int int (g^-1(x))'dx=\int int 1/(f'(x))dx!!!giusto???
Ma resta il fatto che $g^{-1}$ non esiste.
scusa ma se ti dicevano di trovarti l'integrale di $\int_{pi/2}^{(3pi)/2} sin^-1d(x)$ dicevi che non esisteva la funzione inversa o sai che restringendo il dominio esiste basta che c'è 1a corrispondenza biunivoca????
"neopeppe89":
scusa ma se ti dicevano di trovarti l'integrale di $\int_{pi/2}^{(3pi)/2} sin^-1d(x)$ dicevi che non esisteva la funzione inversa o sai che restringendo il dominio esiste basta che c'è 1a corrispondenza biunivoca????
Se poni la domanda in questo modo è un conto, se la poni come è stat posta a Steven è un altro.
"Steven":
Dica se è possibile, e se sì quanto vale, calcolare:
$\int_{0}^{1}g^{-1}(x)dx$
intendendo $g^{-1}(x)$ la funzione inversa di $g(x)$
Si dice chiaramente di considerare $g^{-1}$ come l'inversa di $g$ e $g$ l'inversa non ce l'ha, almeno fino a quando qualcuno mi dice che il dominio non è quello "naturale".
ma non penso steven abbia riportato parola per parola quello che gli ha detto(o scritto) la commissione!!cmq 1 minimo di elasticità mentale è 1a dote richiesta a chi ha a che fare con la matematica e quindi 1 aspirante matematico dovrebbe capire che gli viene richiesto di calcolare nell'intervallo $[0,1]$ perchè in quell'intervallo è invertibile...o cmq steven per essere completo poteva scrivere nell'intestazione: "Se consideriamo $g^-1$ l'inversa di $g(x)$ su tutto $RR$ allora l'integrale non è invertibile mentre in $[0,1]$ essa lo è e quindi calcolando l'integrale della funzione ristretta in questo dominio" e poi svolgere l'esercizio!!!!!:D cmq vediamo cosa c dive steven!!
Bene: attendiamo che Steven ci dica qual è la risposta.
se ti hanno detto di lavorare sul grafico, è perché la risposta la puoi trovare facilmente attraverso la parabola.
devi solo pensare che l'integrale definito rappresenta l'area compresa tra il grafico della funzione e l'asse x.
poi $g(0)=0$, $g(1)=1$, quindi essendo il grafico dell'inversa simmetrico del grafico della g rispetto alla retta $y=x$, anche $g^(-1)(0)=0$ e $g^(-1)(1)=1$.
l'integrale definito richiesto è quindi uguale all'area "sopra" la parabola, dentro il quadrato di lato 1, dunque è 1-integrale della g:
$int_0^1\g(x)dx=5/12=>int_0^1\g^(-1)(x)dx=7/12$
penso che si aspettassero questo ragionamento. spero di essere stata chiara. ciao.
devi solo pensare che l'integrale definito rappresenta l'area compresa tra il grafico della funzione e l'asse x.
poi $g(0)=0$, $g(1)=1$, quindi essendo il grafico dell'inversa simmetrico del grafico della g rispetto alla retta $y=x$, anche $g^(-1)(0)=0$ e $g^(-1)(1)=1$.
l'integrale definito richiesto è quindi uguale all'area "sopra" la parabola, dentro il quadrato di lato 1, dunque è 1-integrale della g:
$int_0^1\g(x)dx=5/12=>int_0^1\g^(-1)(x)dx=7/12$
penso che si aspettassero questo ragionamento. spero di essere stata chiara. ciao.
penso che a questo punto dobbiamo dare tutti ragione a te 
!!!ottimo ragionamento...avevamo entrambi dimenticato di leggere 1a riga...
!!!ottimo ragionamento...avevamo entrambi dimenticato di leggere 1a riga...
per piacere potreste verificare il mio ragionamento precedente x semplice curiosità perchè a me il risultato esce diverso...minore di $7/12$!!grazieeee!!p.s. probabilmente proprio il ragionamento fa acqua!!
ho corretto degli errori e il mio risultato (lo posto solo ad onor di cronaca) è $3/2ln3-1$
quello che secondo me non funziona è il fatto che la derivata della funzione inversa non è reciproca per lo stesso valore della x, ma solo se inverti x e y.
per la cronaca, se ricavi l'equazione della funzione inversa, dovresti ooenere $g^(-1)(x)=(sqrt(8x+1)-1)/2$, mi pare. se vi volete divertire ad integrarla...
ciao.
per la cronaca, se ricavi l'equazione della funzione inversa, dovresti ooenere $g^(-1)(x)=(sqrt(8x+1)-1)/2$, mi pare. se vi volete divertire ad integrarla...
ciao.
in ogni caso faccio notare la formula che deriva dal cambio di variabile:
$int_0^1 g^{-1}(x) dx=\int_{g^{-1}(0)}^{g^{-1}(1)}g'(y)ydy$
ciao!
$int_0^1 g^{-1}(x) dx=\int_{g^{-1}(0)}^{g^{-1}(1)}g'(y)ydy$
ciao!
Infatti adaBTTLS, la soluzione e il procedimento sono quelli.
Loro stessi me lo hanno mostrato alla fine.
Quanto alla questione del testo, non mi risulta che mi abbiano detto di considerare l'inversa in un intervallo.
Sul foglio c'era scritto l'integrale, e più sopra la funzione $g(x)=(x+x^2)/x$
Probabilmente era un'osservazione che avrei dovuto, ahimè, fare io.
Ciao
Loro stessi me lo hanno mostrato alla fine.
Quanto alla questione del testo, non mi risulta che mi abbiano detto di considerare l'inversa in un intervallo.
Sul foglio c'era scritto l'integrale, e più sopra la funzione $g(x)=(x+x^2)/x$
Probabilmente era un'osservazione che avrei dovuto, ahimè, fare io.
Ciao
"Steven":
Quanto alla questione del testo, non mi risulta che mi abbiano detto di considerare l'inversa in un intervallo.
Sul foglio c'era scritto l'integrale, e più sopra la funzione $g(x)=(x+x^2)/x$
Probabilmente era un'osservazione che avrei dovuto, ahimè, fare io.
Anche se il mio parere conterà poco, se nno ti hanno detto di considerare l'inversa in un intervallo preciso, allora io resto fermo nella mia idea che la domanda sia mal posta.
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