Radici di un'equazione

[Sk_Anonymous]

Il quesito andrebbe bene anche in "Scervelliamoci un po'", se non fosse per il fatto che i prof. di Scuola Secondaria hanno ben altro di cui preoccuparsi in questo momento dopo la diminuzione delle iscrizioni .
Si consideri l'equazione :
$x^3-5x-3=0$
di cui siano $a,b,c$ le radici.
Senza risolvere l'equazione data si calcoli il valore dell'espressione :
$P=a^2b+b^2c+c^2a$
nell'ipotesi che sia $P<0$

[totissimus]

Per le relazioni tra le radici e i coefficienti abbiamo:

\begin{cases}
a+b+c=0\\
ab+ac+bc=-5\\
abc=3
\end{cases}

Vale l'identità:

\(x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+xz+yz)+3xyz\)

Quindi:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+ac+bc)+3abc=9$

$(ab)^{3}+(ac)^{3}+(bc)^{3}=(ab+ac+bc)^{3}-3(ab+ac+bc)(a^{2}bc+ab^{2}c+abc^{2})+3a^{2}b^{2}c^{2}$

$=(-5)^{3}+3(-5)(3(a+b+c))+27=-125+27=-98$

Poniamo:

$Q=a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}$

Risulta:

$P+Q=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}=a^{2}(b+c)+b^{2}(a+c)+c^{2}(a+b)=-a^{3}-b^{3}-c^{3}=-9$

$PQ=(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})=a^{4}bc+a^{3}b^{3}+a^{2}b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}+ab^{4}c+b^{3}c^{3}+a^{3}c^{3}+a^{2}b^{2}c^{2}+abc^{4}=$

$=3a^{3}+(ab)^{3}+9+9+3b^{3}+(bc)^{3}+(ac)^{3}+9+3c^{3}=27+3(a^{3}+b^{3}+c^{3})+(ab)^{3}+(ac)^{3}+(bc)^{3}=$

$=27+27-98=-44$

Quindi $P,Q$ sono le radici di

$t^{2}+9t-44=0$

[Sk_Anonymous]

Tutto molto bene ed...elegante. Una sola piccolissima svista: in base ai risultati sembra che l'equazione finale debba essere :
$t^2+9t-44=0$

[totissimus]

@ciromario: ho corretto l'errore. Grazie.