"Deformazione" di una figura piana mantenendo area o perimetro costante
Salve a tutti! Tralasciando il modo con cui sono arrivato a farmi questa domanda, altrimenti potreste darmi del pazzo 
oggi mi sono chiesto: Perchè se prendo una figura piana, ne misuro il perimento e l'area e trovo il raggio di una circonferenza tale che ha quello stesso perimetro e poi il raggio del cerchio tale che ha quella stessa area trovo due raggi differenti?
Esempio:
Prendo un rettangolo di lati 2 e 4:
$ A=a*b=2*4=8 $
$ p=2(a+b)=12 $
Allora supponendo di avere due circonferenze, una di area 8 e una di lunghezza 12 avrei che
$ r1=sqrt(A/pi)=1.59 $
$ r2=p/(2*pi)=1.9 $ .
Ragionandoci un po' sopra ho pensato a questo:
Avendo una curva chiusa di una certa lunghezza, posso deformarla mantenendo la sua lunghezza costante e la sua area cambierà. Viceversa posso mantenere costante la sua area e deformando la figura la sua lunghezza cambierà. (Come si farà a muoversi a lunghezza ed area costante magari me lo spiegate voi xD).
Quindi poichè con le operazioni fatte prima è come se avessi deformato un rettangolo in una circonferenza prima mantenendo l'area e poi il perimetro costante, è ragionevole aver trovato due figure diverse.
L'obbiezione a questa mia stessa affermazione è che vedendo il perimetro come bordo dell'area del mio rettangolo, molto intuitivamente direi che se io trasformo una figura mantenendo la sua area o il perimetro costante, se il tipo (inteso come forma, cioè cerchio, ellisse, triangolo ecc.) della figura "finale" è la stessa allora dovrei ottenere proprio la stessa identica cosa cioè entrambe con stessa area e stesso perimetro.
Spero di essermi spiegato decentemente a parole!
Queste ovviamente sono speculazioni fatte senza alcuna base matematica. Mi piacerebbe capire come mai la mia ultima obbiezione è palesemente falsa (visto i risultati dei semplici calcoli fatti) e perchè. E magari se questo problema ha un nome o se c'è qualcosa da leggere a riguardo lo leggerei volentieri! Sarei anche curioso di vedere come potrebbe essere la dimostrazione "formale" di queste affermazioni. Purtroppo essendo una cosa particolare non sono riuscito a trovare nulla su internet, infatti anche dare un titolo comprensibile non è stato facile xD.
Aspetto quindi di sentire il vostro parere, grazie!
oggi mi sono chiesto: Perchè se prendo una figura piana, ne misuro il perimento e l'area e trovo il raggio di una circonferenza tale che ha quello stesso perimetro e poi il raggio del cerchio tale che ha quella stessa area trovo due raggi differenti?Esempio:
Prendo un rettangolo di lati 2 e 4:
$ A=a*b=2*4=8 $
$ p=2(a+b)=12 $
Allora supponendo di avere due circonferenze, una di area 8 e una di lunghezza 12 avrei che
$ r1=sqrt(A/pi)=1.59 $
$ r2=p/(2*pi)=1.9 $ .
Ragionandoci un po' sopra ho pensato a questo:
Avendo una curva chiusa di una certa lunghezza, posso deformarla mantenendo la sua lunghezza costante e la sua area cambierà. Viceversa posso mantenere costante la sua area e deformando la figura la sua lunghezza cambierà. (Come si farà a muoversi a lunghezza ed area costante magari me lo spiegate voi xD).
Quindi poichè con le operazioni fatte prima è come se avessi deformato un rettangolo in una circonferenza prima mantenendo l'area e poi il perimetro costante, è ragionevole aver trovato due figure diverse.
L'obbiezione a questa mia stessa affermazione è che vedendo il perimetro come bordo dell'area del mio rettangolo, molto intuitivamente direi che se io trasformo una figura mantenendo la sua area o il perimetro costante, se il tipo (inteso come forma, cioè cerchio, ellisse, triangolo ecc.) della figura "finale" è la stessa allora dovrei ottenere proprio la stessa identica cosa cioè entrambe con stessa area e stesso perimetro.
Spero di essermi spiegato decentemente a parole!
Queste ovviamente sono speculazioni fatte senza alcuna base matematica. Mi piacerebbe capire come mai la mia ultima obbiezione è palesemente falsa (visto i risultati dei semplici calcoli fatti) e perchè. E magari se questo problema ha un nome o se c'è qualcosa da leggere a riguardo lo leggerei volentieri! Sarei anche curioso di vedere come potrebbe essere la dimostrazione "formale" di queste affermazioni. Purtroppo essendo una cosa particolare non sono riuscito a trovare nulla su internet, infatti anche dare un titolo comprensibile non è stato facile xD.
Aspetto quindi di sentire il vostro parere, grazie!
Risposte
Se ho ben capito, dalla tua obiezione seguirebbe che se due rettangoli hanno area o perimetro uguale allora sono uguali, oppure due di perimetro uguale hanno stessa area e viceversa, e sono entrambe false.
Francamente non capisco bene la natura del tuo dubbio XD hai semplicemente due numeri e cerchi il raggio affinchè i due cerchi abbiano quell'area e quel perimetro. I cerchi sono diversi perchè i rapporti area/perimetro del cerchio e del rettangolo, in generale sono diversi. Magari ci si potrebbe chiedere qual'è il rettangolo per cui i tuoi due cerchi sono uguali.
Francamente non capisco bene la natura del tuo dubbio XD hai semplicemente due numeri e cerchi il raggio affinchè i due cerchi abbiano quell'area e quel perimetro. I cerchi sono diversi perchè i rapporti area/perimetro del cerchio e del rettangolo, in generale sono diversi. Magari ci si potrebbe chiedere qual'è il rettangolo per cui i tuoi due cerchi sono uguali.
Il problema è che l'obiezione che fai non ha senso: due rettangoli con lo stesso perimetro possono benissimo avere aree diverse. Considera ad esempio il rettangolo $R_0$ che ha i lati di lunghezze $1$ e $4$ e il rettangolo $R_1$ che ha i lati di lunghezze $2$ e $3$, il perimetro è sempre $10$ ma l'area passa da $4$ a $6$. In generale per ogni numero reale $t$ tra zero e uno puoi considerare il rettangolo $R_t$ che ha i lati di lunghezze $1+t$ e $4-t$. Tutti questi rettangoli hanno perimetro $10$. Inoltre per $t=0$ e $t=1$ ottieni i due rettangoli di prima. Dunque al variare di $t$ da zero ad uno ottieni una "deformazione" tra i due rettangoli di prima mantenendo il perimetro costante.
Per tagliare la testa al toro, scrivo due teoremi di geometria euclidea:
Tra tutte le figure piane aventi lo stesso perimetro, quella con area massima è il cerchio.
Tra tutte le figure piane aventi la stessa area, quella con perimetro minimo è il cerchio.
Tra tutte le figure piane aventi lo stesso perimetro, quella con area massima è il cerchio.
Tra tutte le figure piane aventi la stessa area, quella con perimetro minimo è il cerchio.
Scusate per il ritardo della risposta, ero partito per le vacanze 
In effetti mi ero perso in un bicchier d'acqua. Li per li la cosa mi è sembrata molto strana, mi ero convinto del fatto che due figure con lo stesso perimetro per qualche motivo avrebbero dovuto avere la stessa area, notando che nella pratica non era così non mi tornava! Nel cercare di farmela tornare mi ci sono infognato ahah
Interessante! Ammetto che non conoscevo l'esistenza di questi due teoremi
In effetti mi ero perso in un bicchier d'acqua. Li per li la cosa mi è sembrata molto strana, mi ero convinto del fatto che due figure con lo stesso perimetro per qualche motivo avrebbero dovuto avere la stessa area, notando che nella pratica non era così non mi tornava! Nel cercare di farmela tornare mi ci sono infognato ahah
"@melia":
Tra tutte le figure piane aventi lo stesso perimetro, quella con area massima è il cerchio.
Tra tutte le figure piane aventi la stessa area, quella con perimetro minimo è il cerchio.
Interessante! Ammetto che non conoscevo l'esistenza di questi due teoremi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo