Quanti ce ne sono? (idempotenti)

[Kashaman]

Carissimi utenti del forum, vi propongo di trovare una soluzione a questo problema . Posseggo una mia soluzione . La posterò entro la serata. Non è difficile, ma è simpatico.
Problema :
Siano $p_1,p_2,.....,p_k$ interi positivi primi distinti. e sia $n=p_1*p_2*...*p_k$.
Sia $ZZ_n$ l'anello degli interi modulo $n$.
Quanti elementi vi sono in $ZZ_n$ del tipo $\alpha^2=\alpha$?[xdom="Martino"]Titolo specificato.[/xdom]

[Paolo902]

Gli idempotenti dovrebbero essere $2^k$, giusto? Mi pare di ricordare che sia una diretta conseguenza del CRT...

EDIT: ah, sì! Ricordavo bene, se ne è parlato pochi mesi fa, qui...

[Kashaman]

@Paolo

si , è diciamo una diretta conseguenza del teorema cinese dei resti. Che ne pensi della mia risoluzione? sta sotto. Sarei curioso di vedere una tua

Tentativo di risoluzione.

Premetto che il problema può essere risolto con strumenti semplici e con un po di combinatoria. Tenendo noto il risultato che è giusto, è $2^k$, si può enunciare il problema in termini di teorema nel seguente modo.
Th siano $p_1,p_2,....,p_k$ primi distinti. e sia $n=\prod_(i=1)^kp_i$ . Allora in $ZZ_n$ vi sono esattamente $2^k$ elementi del tipo $a^2=a$.
Procedo con la dimostrazione. Faccio uso del seguente lemma.
lemma Sia $p$ un primo. $a in ZZ_p$ . Allora vi sono due soluzioni dell'espressione $a^2=a$. In particolare $a=[0]_p vv a=[1]_p$
dim lemma$a^2=a <=> p|a(a-1) => p|a vv p|(a-1)$ essendo $p$ primo, da cui la tesi.

dim th
se $a^2=a => \prod_(i=1)^kp_i | a(a-1)$ Ma essendo $p_i$ distinti, si ha in particolare che ogni $p_i|a(a-1) => p_i|a vv p_i|(a-1)$ (in base al lemma).
Ogni $a$ si trova risolvendo sistemi cinesi del tipo :
$x_1-=0(modp_1)$
$x_2-=0(modp_2)$
.
.
.
$x_i-=0(modp_i)$
.
.
$x_k-=(modp_k)$
Ove $x_i in {a,a-1} , 1<=i<=k$
Ora poiché le scelte di ogni $x_i$ si possono fare su $2$ elementi, e poiché le congruenze facenti il sistema ne sono $k$ , ottengo $2^k$ sistemi distinti, e quindi $2^k$ elementi $a$ risolventi i singoli sistemi e quindi $2^k$ $a$ tali che $a^2-=a(mod\prod_(i=0)^np_i)$. La tesi.