Probabilità ed un'equazione mod2

[_luca.barletta]

Date $n$ variabili iid di Bernoulli $X_i~"Bern"(p), i=1...n$, tali che $Pr[X_i=0]=p=1-Pr[X_i=1]$, trovare, in forma chiusa, la probabilità che
$sum_(i=1)^n X_i -= 0 (mod2)$.

[Lord K]

Anche se non sono sicurissimo, d'acchito direi: sia:

$X=sum_(i=1)^n X_i$

$P(X=k|k-=0mod2) = ((n),(k))p^k*(1-p)^(n-k)*P(k-=0 mod2)$

dato un numero a caso la probabilità che questo sia pari è:

$P(k-=0 mod2) = 1/2$

da cui:

$P(sum_(i=1)^n X_i-=0 mod 2) = 1/2 * ((n),(k))p^k*(1-p)^(n-k)$

visto che i due eventi sono indipendenti.

[elgiovo]

Non è difficile intuire che

$Y=sum_(i=1)^n X_i ~ "Binom"(n,p)$,

infatti perchè $Y=k$, esattamente $k$ delle $n$ variabili $X_i$ devono essere $1$, da cui

$P[Y=k]=((n),(k))p^(k)(1-p)^(n-k)$.

Perciò la probabilità cercata è

$P[Y equiv 0 ("mod" 2)]= sum_(k=0)^(2 |~ (n-1)/2 ~|) P[Y=2k]=sum_(k=0)^(2 |~ (n-1)/2 ~|) ((n),(2k))p^(2k)(1-p)^(n-2k)$,

che è anche uguale a

$sum_(k=0)^(oo) ((n),(2k))p^(2k)(1-p)^(n-2k)$,

perchè per $2k>n$ il coefficiente binomiale si annulla. L'ultima sommatoria si scrive anche come

$(1-p)^n sum_(k=0)^(oo) ((n),(2k))p^(2k)(1-p)^(-2k)=(1-p)^n sum_(k=0)^(oo) ((n),(2k))(p/(1-p))^(2k)$.

Per scriverla in forma chiusa sfruttiamo lo sviluppo in serie di

$(1+x)^n=sum_(k>=0) ((n),(k))x^k$,

congiuntamente alla proprietà delle radici quadrate dell'unità $omega_1$ e $omega_2$ di selezionare uno ogni due elementi da una successione:

$sum_(k>=0)((n),(2k))x^(2k)=((1+omega_1x)^n+(1+omega_2x)^n)/2=((1+x)^n+(1-x)^n)/2$,

da cui

$P[Y equiv 0 ("mod"2)]=((1-p)^n)/2 [(1+p/(1-p))^n+(1-p/(1-p))^n] $.

[_luca.barletta]

La soluzione di elgiovo è corretta.