Perché certi fasci localmente costanti non sono costanti?
Molte volte si deve dimostrare che un certo fascio,
magari ottenuto come incollamento di altri fasci, non e' costante;
Ci sono dei metodi o dei trucchi immediati per fare questo?
Cosa ha di speciale un fascio costante che altri fasci
(ad esempio quelli localmente costanti) non hanno?
in casi particolari:
-$X$ spazio topologico non connesso unione di due aperti $U,V$ non vuoti;
prendo i fasci costanti su questi due aperti e li incollo (ad esempio prendo il fascio nullo su $U$
e il fascio costante con stalk $K$, anello commutativo unitario, su $V$);
perché non ottengo un fascio costante?
-$X = \mathbb{R}\cup S^{1}$, perche' il fascio localmente costante che ottengo come incollamento dei
due fasci costanti $\mathbb{R}_{\mathbb{R}}$ e $\mathbb{R}_{S^{1}}$ non e' costante?.
( se potesse essere d'aiuto sto preparando un esame di topologia algebrica e sto studiando
sul seguente libro: Algebra and Topology, Pierre Schapira ).
magari ottenuto come incollamento di altri fasci, non e' costante;
Ci sono dei metodi o dei trucchi immediati per fare questo?
Cosa ha di speciale un fascio costante che altri fasci
(ad esempio quelli localmente costanti) non hanno?
in casi particolari:
-$X$ spazio topologico non connesso unione di due aperti $U,V$ non vuoti;
prendo i fasci costanti su questi due aperti e li incollo (ad esempio prendo il fascio nullo su $U$
e il fascio costante con stalk $K$, anello commutativo unitario, su $V$);
perché non ottengo un fascio costante?
-$X = \mathbb{R}\cup S^{1}$, perche' il fascio localmente costante che ottengo come incollamento dei
due fasci costanti $\mathbb{R}_{\mathbb{R}}$ e $\mathbb{R}_{S^{1}}$ non e' costante?.
( se potesse essere d'aiuto sto preparando un esame di topologia algebrica e sto studiando
sul seguente libro: Algebra and Topology, Pierre Schapira ).
Risposte
Come definisci "fascio costante"? Per definizione un fascio costante ha la stessa spiga in tutti i punti.
La domanda da chiedere forse e' un'altra:
fisso l'insieme $A$ (con almeno due elementi) e prendo $X$ spazio topologico non connesso; il prefascio (di insiemi, ma non cambia nulla se $A$ e' un gruppo, o un anello, o quello che vuoi) \(\mathcal{F} \) definito da \( \Gamma(U,\mathcal{F}) = A\) per ogni aperto $U$ di $X$ non e' un fascio. Perche'?
Puoi verificare l'assioma di incollamento fallisce. Prendi due aperti disgiunti $U,V$ di $X$ che coprono $X$; prendi una sezione su $U$ e una sezione su $V$ che corrispondano a due elementi diversi di $A$. Queste sezioni coincidono sull'intersezione di $U$ e $V$, che e' vuota; ma non hai una sezione globale che si restringe a loro.
La domanda da chiedere forse e' un'altra:
fisso l'insieme $A$ (con almeno due elementi) e prendo $X$ spazio topologico non connesso; il prefascio (di insiemi, ma non cambia nulla se $A$ e' un gruppo, o un anello, o quello che vuoi) \(\mathcal{F} \) definito da \( \Gamma(U,\mathcal{F}) = A\) per ogni aperto $U$ di $X$ non e' un fascio. Perche'?
Puoi verificare l'assioma di incollamento fallisce. Prendi due aperti disgiunti $U,V$ di $X$ che coprono $X$; prendi una sezione su $U$ e una sezione su $V$ che corrispondano a due elementi diversi di $A$. Queste sezioni coincidono sull'intersezione di $U$ e $V$, che e' vuota; ma non hai una sezione globale che si restringe a loro.
Per me un fascio costante è il fascio associato al prefascio costante.
Il tuo esempio è proprio il prefascio costante con stalk A; questo non è un fascio (anche se X è connesso)
perchè non verifica l'assioma s1), infatti $\Gamma(\emptyset, F)$ ha sempre cardinalità $1$ (nel caso poi $A$ sia un gruppo, anello, etc.. coincide proprio con l'elemento neutro della somma, lo zero) e quindi non può essere uguale ad $A$ visto che abbiamo supposto di avere $A$ con almeno due elementi.
Per spiga tu intendi lo stalk, giusto?
In tal caso se F è il fascio costante su $X$ definito come incollamento dei due fasci costanti su $U$ e $V$, ad esempio prendendo su $U$ il fascio nullo e su $V$ il fascio con stalk $K$, allora lo stalk di $F$ in $x$, i.e. $F_{x}$, è proprio $K$ se $x\in V$ oppure è $0$ se $x\in U$; quindi $F$ non è un fascio costante perché non ha lo stesso stalk in ogni punto (se $K\ne 0$);
Così è corretto?
Nel secondo esempio però lo stalk è sempre lo stesso, cioè $\mathbb{R}$, sia se prendo il punto dentro $\mathbb{R}$ sia che lo prendo dentro $S^{1}$; quindi non posso concludere come sopra..
Coma faccio in questo caso a dimostrare che il fascio che ottengo, come tale incollamento, su $X$ è costante oppure no?
(questo problema è nato nel cercare un controesempio a questo fatto:
Se $X$ è localmente connesso ma non connesso e $F$ è fascio localmente costante con stalk $\mathbb{R}$ su $X$ e $F(X)\ne 0$ allora $F$ è costante; ho provato allora a considerare $X=\mathbb{R}\cup S^{1}$ e vedere se incollando quei due fasci costanti ottenevo un fascio non costante; ma non so come procedere..
anzi mi verrebbe da dire che così facendo ottengo veramente un fascio costante perché ogni sezione di $F$ mi sembra che sia una una funzione localmente costante a valori in $\mathbb{R}$).
Il tuo esempio è proprio il prefascio costante con stalk A; questo non è un fascio (anche se X è connesso)
perchè non verifica l'assioma s1), infatti $\Gamma(\emptyset, F)$ ha sempre cardinalità $1$ (nel caso poi $A$ sia un gruppo, anello, etc.. coincide proprio con l'elemento neutro della somma, lo zero) e quindi non può essere uguale ad $A$ visto che abbiamo supposto di avere $A$ con almeno due elementi.
Per spiga tu intendi lo stalk, giusto?
In tal caso se F è il fascio costante su $X$ definito come incollamento dei due fasci costanti su $U$ e $V$, ad esempio prendendo su $U$ il fascio nullo e su $V$ il fascio con stalk $K$, allora lo stalk di $F$ in $x$, i.e. $F_{x}$, è proprio $K$ se $x\in V$ oppure è $0$ se $x\in U$; quindi $F$ non è un fascio costante perché non ha lo stesso stalk in ogni punto (se $K\ne 0$);
Così è corretto?
Nel secondo esempio però lo stalk è sempre lo stesso, cioè $\mathbb{R}$, sia se prendo il punto dentro $\mathbb{R}$ sia che lo prendo dentro $S^{1}$; quindi non posso concludere come sopra..
Coma faccio in questo caso a dimostrare che il fascio che ottengo, come tale incollamento, su $X$ è costante oppure no?
(questo problema è nato nel cercare un controesempio a questo fatto:
Se $X$ è localmente connesso ma non connesso e $F$ è fascio localmente costante con stalk $\mathbb{R}$ su $X$ e $F(X)\ne 0$ allora $F$ è costante; ho provato allora a considerare $X=\mathbb{R}\cup S^{1}$ e vedere se incollando quei due fasci costanti ottenevo un fascio non costante; ma non so come procedere..
anzi mi verrebbe da dire che così facendo ottengo veramente un fascio costante perché ogni sezione di $F$ mi sembra che sia una una funzione localmente costante a valori in $\mathbb{R}$).
Ma io direi che se $X$ e' uno spazio topologico localmente connesso e \(\mathcal{F}\) e' localmente costante, allora e' costante; questo perche' le sue su aperti connessi sono le stesse del fascio (e siccome gli aperti sono piccolini e connessi anche del prefascio) costante.
"the number theorist":
-$X = \mathbb{R}\cup S^{1}$, perche' il fascio localmente costante che ottengo come incollamento dei
due fasci costanti $\mathbb{R}_{\mathbb{R}}$ e $\mathbb{R}_{S^{1}}$ non e' costante?
Se l'unione è disgiunta, questa affermazione è falsa.
"Pappappero":
Ma io direi che se $X$ e' uno spazio topologico localmente connesso e \(\mathcal{F}\) e' localmente costante, allora e' costante
Non è detto. Prendi lo spazio composto da un punto \(*\), due gruppi distinti $A$ e $B$ ed i fasci costanti $\underline A$ e $\underline B$ su \(*\). Ora considera lo spazio topologico \(X = * \amalg *\) unione disgiunta di due punti, e metti sui due punti i due fasci costanti di cui sopra. Le ipotesi del teorema di incollamento sono soddisfatte banalmente, ma il fascio che ottieni incollando non è costante.
Serve che $X$ sia connesso per avere "fascio localmente costante $\Rightarrow$ fascio costante".
Grazie! Trallaltro era l'esempio scritto sopra con l'incollamento di due fasci con due spighe diverse! Chiedo scusa per la svista.
Grazie ad entrambi per aver sciolto i miei dubbi! 
Alla domanda iniziale ti hanno già risposto: perché certi spazi non sono connessi 
Se poi dovesse servirti una intuizione alternativa per i fasci localmente costanti, questi ultimi corrispondono, nell'equivalenza di categorie tra fasci su $X$ e spazi etalé su $X$, ai rivestimenti; la ragione per cui stai studiando questa roba e la chiami "topologia algebrica" è che allora questo ti permette di scrivere in termini di teoria dei fasci la teoria di Galois dei rivestimenti.
Se poi dovesse servirti una intuizione alternativa per i fasci localmente costanti, questi ultimi corrispondono, nell'equivalenza di categorie tra fasci su $X$ e spazi etalé su $X$, ai rivestimenti; la ragione per cui stai studiando questa roba e la chiami "topologia algebrica" è che allora questo ti permette di scrivere in termini di teoria dei fasci la teoria di Galois dei rivestimenti.
Wow!! Un bellissimo punto di vista alternativo!
In più mi hai fatto venire molta curiosità riguardo tale applicazione della teoria ai rivestimenti di Galois!
Grazie mille!!
In più mi hai fatto venire molta curiosità riguardo tale applicazione della teoria ai rivestimenti di Galois!
Grazie mille!!
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