Parte frazionaria di $sqrt3 n^2$
Consideriamo \(\displaystyle A:= \biggl\{ \{\sqrt{3}n^2\} \ | \ n \in \mathbb{N} \setminus\{0\} \biggr\}\),
dove con ${x}$ si intende la parte frazionaria del numero reale $x$ (ad esempio ${8.64}=0.64$, ${0.5}=0.5$, ${3}=0$)
Banalmente $A sube (0,1)$. Sia $s=\text{sup}A$. Vorrei capire se $s<1$ oppure $s=1$ (se si riesce a dimostrare, è ovvio).
Solo a titolo di esempio, con un programmino semplice semplice ho trovato questo:
$n=191862=> \{\sqrt{3}n^2\} = 0.999977111816406$
Un po' più formalmente, l'esercizio che vi propongo è questo:
Dimostrare o confutare la seguente proposizione:
$AA epsilon >0 $ esiste $n in NN$ tale che $\{\sqrt{3}n^2\} >1-epsilon$
dove con ${x}$ si intende la parte frazionaria del numero reale $x$ (ad esempio ${8.64}=0.64$, ${0.5}=0.5$, ${3}=0$)
Banalmente $A sube (0,1)$. Sia $s=\text{sup}A$. Vorrei capire se $s<1$ oppure $s=1$ (se si riesce a dimostrare, è ovvio).
Solo a titolo di esempio, con un programmino semplice semplice ho trovato questo:
$n=191862=> \{\sqrt{3}n^2\} = 0.999977111816406$
Un po' più formalmente, l'esercizio che vi propongo è questo:
Dimostrare o confutare la seguente proposizione:
$AA epsilon >0 $ esiste $n in NN$ tale che $\{\sqrt{3}n^2\} >1-epsilon$
Risposte
Segnalo che qui si è parlato del corrispondente caso "lineare": l'insieme [tex]\{\sqrt{3}n + m\ :\ n,m \in \mathbb{Z}\}[/tex] è denso in [tex]\mathbb{R}[/tex]. Avevo proposto una soluzione coi sottogruppi additivi di [tex]\mathbb{R}[/tex] che non si applica a questo caso perché appunto l'elevamento al quadrato non rispetta la somma.
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