$p \in QQ[x] \Leftrightarrow p(r) \in QQ, \forall r \in QQ$
Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ con $n \in NN$, $p(x) \in QQ[x]$ se e solo se $p(r) \in QQ$ per ogni $r \in QQ$
Risposte
Raccontaci qualcosa! Hai provato per induzione sul grado? Scrivi $p(x) = xq(x)+p(0)$.
Penso che sia un quesito non una richiesta di aiuto ... almeno credo ... 
Confermo, è un quesito, da scervelliamoci un pò aggiungo chiedo infatti gentilmente a qualcuno di spostarlo lì, grazie 
Come non detto...
Comunque si può fare anche con Cramer ma ci si complica la vita nel dimostrare che la matrice associata al sistema omogeneo è invertibile...
Comunque si può fare anche con Cramer ma ci si complica la vita nel dimostrare che la matrice associata al sistema omogeneo è invertibile...
Perche' scomodare Cramer?
Se $p \in QQ[x]$ allora chiaramente $p(r) \in QQ$ per ogni $r \in QQ$.
Viceversa, supponiamo $p \in K[x]$, con $K$ una qualche estensione di $QQ$. Sia $n$ il grado di $p$. Allora $n$ e' univocamente determinato da $n+1$ valutazioni. Prendo $r_0 , ... , r_n \in QQ$ e i corrispondenti valori $b_0 , ... , b_n$, con $b_i = p(r_i)$, quindi $b_i \in QQ$ per ogni $i$. I coefficienti di $p$ si ottengono dal sistema lineare di Vandermonde, che e' interamente a coefficienti razionali: i coefficienti della matrice di Vandermonde sono potenze degli $r_i$ e il vettore dei termini noti e' la colonna dei $b_j$. Quindi la soluzione del sistema e' razionale.
Se $p \in QQ[x]$ allora chiaramente $p(r) \in QQ$ per ogni $r \in QQ$.
Viceversa, supponiamo $p \in K[x]$, con $K$ una qualche estensione di $QQ$. Sia $n$ il grado di $p$. Allora $n$ e' univocamente determinato da $n+1$ valutazioni. Prendo $r_0 , ... , r_n \in QQ$ e i corrispondenti valori $b_0 , ... , b_n$, con $b_i = p(r_i)$, quindi $b_i \in QQ$ per ogni $i$. I coefficienti di $p$ si ottengono dal sistema lineare di Vandermonde, che e' interamente a coefficienti razionali: i coefficienti della matrice di Vandermonde sono potenze degli $r_i$ e il vettore dei termini noti e' la colonna dei $b_j$. Quindi la soluzione del sistema e' razionale.
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