Numero di sottogruppi di indice finito
Sto studiando teoria dei gruppi profiniti, e ho bisogno di dimostrare la seguente proprietà :
Sia $ a_ { n } ( G ) $ il numero di sottogruppi di indice $ n $ in $ G $ e $ a_ { n } ( \ hat { G } ) $ il numero di sottogruppi aperti di indice $ n $ in $ \ hat { G } $ ;
Dimostrare che $ a_ { n } ( G) = a_ { n } ( \ hat { G } ) $ .
----------
Credo che sia sufficiente dimostrare che partendo dall' iniezione $ j : G \rightarrow \ hat { G } $
(Suppongo $ G $ ''residually finite'') otteniamo una corrispondenza biunivoca tra l'insieme di sottogruppi $ H $ di indice $ n $ in $ G $ e l'insieme di sottogruppi aperti $ K $ di indice $ n $ in $ \ hat { G } $ data da: $ H \rightarrow \ bar { H } $ e $ K \rightarrow K \cap G $ e che l'indice in entrambi i casi è conservato .
Ma come posso dimostrarlo ?
Un'altra piccola domanda : Questo implica che $ \ hat { G }$ /$ \ bar { H } \ cong G$ /$ H $, nel caso in cui $H,\bar{H}$ siano sottogruppi normali rispettivamente in $G,\hat{G}$ ?
Sia $ a_ { n } ( G ) $ il numero di sottogruppi di indice $ n $ in $ G $ e $ a_ { n } ( \ hat { G } ) $ il numero di sottogruppi aperti di indice $ n $ in $ \ hat { G } $ ;
Dimostrare che $ a_ { n } ( G) = a_ { n } ( \ hat { G } ) $ .
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Credo che sia sufficiente dimostrare che partendo dall' iniezione $ j : G \rightarrow \ hat { G } $
(Suppongo $ G $ ''residually finite'') otteniamo una corrispondenza biunivoca tra l'insieme di sottogruppi $ H $ di indice $ n $ in $ G $ e l'insieme di sottogruppi aperti $ K $ di indice $ n $ in $ \ hat { G } $ data da: $ H \rightarrow \ bar { H } $ e $ K \rightarrow K \cap G $ e che l'indice in entrambi i casi è conservato .
Ma come posso dimostrarlo ?
Un'altra piccola domanda : Questo implica che $ \ hat { G }$ /$ \ bar { H } \ cong G$ /$ H $, nel caso in cui $H,\bar{H}$ siano sottogruppi normali rispettivamente in $G,\hat{G}$ ?
Risposte
è un argomento che mi interessa, a cosa posso dare un'occhiata per poter approcciare il problema?
Ciao, io farei così: supponi di avere un sottogruppo normale $M$ di $G$ di indice finito $n$, e considera l'inclusione $i: M \to G$, il morfismo canonico $j:G \to \hat{G}$ e la proiezione $\hat{\pi}:\hat{G} \to \hat{G}//bar{M}$. Si ha che $\bar{M} = ji(M)$ è un sottogruppo normale chiuso di $\hat{G}$ [No, questo è falso, si veda sotto]. Siccome $j$ è iniettiva, il nucleo di $\hat{\pi} j : G \to \hat{G}//\bar{M}$ è proprio $M$, quindi hai un morfismo iniettivo $f: G//M \to \hat{G}//\bar{M}$. Ora, per la proprietà universale del completamento profinito applicato a $G \to G//M$ esiste $\theta:\hat{G} \to G//M$ tale che $\theta j$ coincide con la proiezione $\pi:G \to G//M$. Ne segue che $\hat{\pi} = f \theta$ quindi $f$ è suriettivo. Ne segue che $f$ è un isomorfismo e quindi $\hat{G}//\bar{M} \cong G//M$.
Usando questo fatto è facile mostrare che la corrispondenza che hai detto preserva gli indici.
Usando questo fatto è facile mostrare che la corrispondenza che hai detto preserva gli indici.
Ciao, grazie per la risposta!
C'è qualcosa però che non mi torna:
1)perchè lavori con i sottogruppi normali? io dovrei dimostrarlo per ogni sottogruppo di indice $n$.
2)se ho un sottogruppo $M$ normale in $\hat{G}$ allora anche la sua chiusura sarà normale in $\hat{G}$;
ma adesso parto da $M$ sottogruppo normale di $G$, quindi chi mi assicura che la sua chiusura in $\hat{G}$ sia un sottogruppo normale?
3) per quale motivo $j$ manda sottogruppi $M$ di $G$ nella loro chiusura in $\hat{G}$?
C'è qualcosa però che non mi torna:
1)perchè lavori con i sottogruppi normali? io dovrei dimostrarlo per ogni sottogruppo di indice $n$.
2)se ho un sottogruppo $M$ normale in $\hat{G}$ allora anche la sua chiusura sarà normale in $\hat{G}$;
ma adesso parto da $M$ sottogruppo normale di $G$, quindi chi mi assicura che la sua chiusura in $\hat{G}$ sia un sottogruppo normale?
3) per quale motivo $j$ manda sottogruppi $M$ di $G$ nella loro chiusura in $\hat{G}$?
Ciao!
1. C'è un risultato fondamentale che è il seguente: se $H$ è un sottogruppo di $G$ di indice finito $n$ allora il sottogruppo [tex]H_G := \bigcap_{g \in G} g^{-1}Hg \leq G[/tex] (cuore normale di $H$ in $G$) è un sottogruppo normale di $G$ contenuto in $H$ (che contiene tutti i sottogruppi normali di $G$ contenuti in $H$) e l'indice di $H_G$ è finito, minore o uguale di $n!$ (questo è perché $H_G$ è il nucleo dell'azione di $G$ per moltiplicazione a destra sull'insieme dei $n$ laterali destri di $H$, quindi hai un morfismo $G \to S_n$ di nucleo $H_G$). Ne segue che se $G$ è un qualsiasi gruppo topologico compatto, un suo sottogruppo $H$ è aperto se e solo se $H_G$ è aperto.
2. La chiusura di $H \leq G$ in $\hat{G}$ è uguale a $lim_N HN//N$ e $HN//N$ è normale in $G//N$ se $H$ è normale in $G$, e il fatto che tutti i $HN//N$ siano normali nei $G//N$ implica che $\overline{H}$ è normale in $\hat{G}$.
3. Hai ragione, sono stato precipitoso scusami, $j$ non manda i sottogruppi nella loro chiusura. E' meglio se identifico $G$ con il sottogruppo $j(G)$ di $\hat{G}$. Osserva che se $H$ è un sottogruppo di $G$ di indice $n$ allora $\overline{H}$ è un sottogruppo aperto (questo è chiaro?) quindi ha indice finito $m$. Siccome $G$ è denso in $\hat{G}$ si ha $GN=\hat{G}$ per ogni $N$ normale aperto di $\hat{G}$, in particolare puoi prendere $N = \overline{H}_{\hat{G}}$ (il cuore normale) da cui ottieni $GN=\hat{G}$ che implica $G \overline{H} = \hat{G}$. Quindi esiste un trasversale $t_1,\ldots,t_m$ di $\overline{H}$ in $\hat{G}$ contenuto in $G$ e usando il fatto che $\overline{H} \cap G = H$ è facile concludere che $t_1,\ldots,t_m$ è anche un trasversale di $H$ in $G$. Quindi $m=n$.
[Non ricordavo i dettagli di (3), li ho presi da pagina 81 di Ribes-Zalesski, Profinite Groups]
1. C'è un risultato fondamentale che è il seguente: se $H$ è un sottogruppo di $G$ di indice finito $n$ allora il sottogruppo [tex]H_G := \bigcap_{g \in G} g^{-1}Hg \leq G[/tex] (cuore normale di $H$ in $G$) è un sottogruppo normale di $G$ contenuto in $H$ (che contiene tutti i sottogruppi normali di $G$ contenuti in $H$) e l'indice di $H_G$ è finito, minore o uguale di $n!$ (questo è perché $H_G$ è il nucleo dell'azione di $G$ per moltiplicazione a destra sull'insieme dei $n$ laterali destri di $H$, quindi hai un morfismo $G \to S_n$ di nucleo $H_G$). Ne segue che se $G$ è un qualsiasi gruppo topologico compatto, un suo sottogruppo $H$ è aperto se e solo se $H_G$ è aperto.
2. La chiusura di $H \leq G$ in $\hat{G}$ è uguale a $lim_N HN//N$ e $HN//N$ è normale in $G//N$ se $H$ è normale in $G$, e il fatto che tutti i $HN//N$ siano normali nei $G//N$ implica che $\overline{H}$ è normale in $\hat{G}$.
3. Hai ragione, sono stato precipitoso scusami, $j$ non manda i sottogruppi nella loro chiusura. E' meglio se identifico $G$ con il sottogruppo $j(G)$ di $\hat{G}$. Osserva che se $H$ è un sottogruppo di $G$ di indice $n$ allora $\overline{H}$ è un sottogruppo aperto (questo è chiaro?) quindi ha indice finito $m$. Siccome $G$ è denso in $\hat{G}$ si ha $GN=\hat{G}$ per ogni $N$ normale aperto di $\hat{G}$, in particolare puoi prendere $N = \overline{H}_{\hat{G}}$ (il cuore normale) da cui ottieni $GN=\hat{G}$ che implica $G \overline{H} = \hat{G}$. Quindi esiste un trasversale $t_1,\ldots,t_m$ di $\overline{H}$ in $\hat{G}$ contenuto in $G$ e usando il fatto che $\overline{H} \cap G = H$ è facile concludere che $t_1,\ldots,t_m$ è anche un trasversale di $H$ in $G$. Quindi $m=n$.
[Non ricordavo i dettagli di (3), li ho presi da pagina 81 di Ribes-Zalesski, Profinite Groups]
Grazie mille per la risposta!!
Conoscevo il normal core, ma ad esempio non sapevo che si potesse caratterizzare la chiusura in termini di limite proiettivo.
Quindi grazie per il tuo aiuto e soprattutto grazie per avermi detto dove si potevano trovare i possibili dettagli di questi argomenti.
Il che mi fa rispondere anche ad Half95: dei libri buoni per studiare gruppi topologici sono:
-Ribes-Zalesski, Profinite Groups;
Wilson, Profinite Groups;
-Dikran Dikranjan, Introduction to Topological Groups;
-Alex Lubotzky & Dan Segal, subgroup growth.
Conoscevo il normal core, ma ad esempio non sapevo che si potesse caratterizzare la chiusura in termini di limite proiettivo.
Quindi grazie per il tuo aiuto e soprattutto grazie per avermi detto dove si potevano trovare i possibili dettagli di questi argomenti.
Il che mi fa rispondere anche ad Half95: dei libri buoni per studiare gruppi topologici sono:
-Ribes-Zalesski, Profinite Groups;
Wilson, Profinite Groups;
-Dikran Dikranjan, Introduction to Topological Groups;
-Alex Lubotzky & Dan Segal, subgroup growth.
"the number theorist":
Il che mi fa rispondere anche ad Half95: dei libri buoni per studiare gruppi topologici sono:
-Ribes-Zalesski, Profinite Groups;
Wilson, Profinite Groups;
-Dikran Dikranjan, Introduction to Topological Groups;
-Alex Lubotzky & Dan Segal, subgroup growth.
grazie
è divertente il fatto che Dikranjan è il mio professore di algebra, sapevo che si occupava di gruppi topologici ma non sapevo avesse scritto un libro a riguardo
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