Nessuna unione numerabile di iperpiani di $\mathbb R^n$ può contenere un aperto non vuoto di $\mathbb R^n$.
Nessuna unione numerabile di iperpiani di $\mathbb R^n$ può contenere un aperto non vuoto di $\mathbb R^n$.
La sfida è farlo senza il teorema di Baire.
La sfida è farlo senza il teorema di Baire.
Risposte
Intersezione...?
Intersezione che 
Niente, avevo letto male. 
Per ogni iperpiano della famiglia consideriamo un versore a esso ortogonale; indichiamo con \(V\) la famiglia di questi versori.
Poiché \(V\) è numerabile, esiste un versore \(w\in S^{n-1}\) tale che \(w\cdot v \neq 0\) per ogni \(v\in V\).
Di conseguenza, ogni retta del tipo \(r:\ x + w t\), \(t\in \mathbb{R}\), interseca ciascun iperpiano esattamente in un punto, dunque interseca l'unione \(U\) degli iperpiani in una famiglia numerabile di punti.
Questo chiaramente implica che \(U\) non possa contenere alcun aperto non vuoto.
Poiché \(V\) è numerabile, esiste un versore \(w\in S^{n-1}\) tale che \(w\cdot v \neq 0\) per ogni \(v\in V\).
Di conseguenza, ogni retta del tipo \(r:\ x + w t\), \(t\in \mathbb{R}\), interseca ciascun iperpiano esattamente in un punto, dunque interseca l'unione \(U\) degli iperpiani in una famiglia numerabile di punti.
Questo chiaramente implica che \(U\) non possa contenere alcun aperto non vuoto.
Sì; a me piace questo argomento: un insieme numerabile di iperpiani ha misura di Lebesgue nulla (è unione numerabile di insiemi di misura nulla), ma se contenesse un aperto dovrebbe contenere una palla di raggio $\epsilon$, ovvero avere misura $\ge\pi\epsilon^2 >0$.
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