Molto fumo e poco arrosto

[Erasmus_First]

Dimostrare la validità della seguente uguaglianza:

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P.S.
Prova a vedere come si chiama questa PNG .

[dan952]

Potrei aver sbagliato qualche conto:

Poiché $\Re(2r+2)>1$ allora $\zeta(2r+2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2r+2}}$ quindi $\sum_{r=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{2r}}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2r+2}}$
scambio le due sommatorie, tanto tutti i termini sono positivi, $$\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{r=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{2r}}\frac{1}{n^{2r+2}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{r=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\frac{1}{2^{2r}}\frac{1}{n^{2r}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{r=0}^{+\infty}\frac{1}{(4n^2)^{r}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{4n^2-1}=2\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}) =2$$
ho omesso la spiegazione di alcuni passaggi elementari

[Erasmus_First]

@ dan95
Occhio ad un ... "errore di sbaglio": Nell'ultima riga t'è rimasto nella tastiera un fattore 2
Ho titolato così il quiz perché l'apparire della Zeta di Riemann è appunto solo fumo, dato che commutando le sommatorie si cade nelle notissime serie geometriche e infine in una serie telescopica.
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[dan952]

"Erasmus_First":@ dan95
Occhio ad un ... "errore di sbaglio": Nell'ultima riga t'è rimasto nella tastiera un fattore 2

Dove?

[Erasmus_First]

"dan95":[quote="Erasmus_First"]@ dan95
Occhio ad un ... "errore di sbaglio": Nell'ultima riga t'è rimasto nella tastiera un fattore 2

Dove? [/quote]No. Tu hai fatto giusto.
E' solo un'impressione ... grafica. Sorry ...
Il testo dentro a "spoiler" va a capo dopo un "= 2" [che sembra concludere nella giusta risposta] e invece è il 2 che moltiplica l'ultima sommatoria (che finisce nella riga successiva, serie telescopica che vale 1 ma è seguita da "=2").
Oh: è più difficile spiegartelo a parole che fartelo vedere.
Te lo faccio vedere con la seguente PNG (prelevata direttamente dallo schermo nella finestra che mi mostra la tua risposta):


Siccome 2 è la risposta giusta, quel "2" in fondo alla penultima riga sembra la risposta conclusiva; e la successiva riga sembra essere una spiegazione a parte dell'ultima uguaglianza, [spiegazione che risulterebbe col detto "errore di sbaglio" in quanto la sommatoria del membro sinistro vale 1].

[Erasmus_First]

Avevo già preparato una figura di spiegazione di questo quiz.
Ora è superflua ma la mostro lo stesso.

---> Risposta (spiegata) al quiz

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[dan952]

Aaaaah ok ora ho capito