\(\mathbf{S}^3\) è l'unione di due tori pieni

[Epimenide93]

Dimostrare che \(\mathbf{S}^3\) è omeomorfa all'unione di due tori pieni la cui intersezione è un toro \(\mathbf{T}^2\).

Sentitevi liberi di approcciare il problema come più vi aggrada.

[Frink1]

Premetto che si potrebbe (e dovrebbe) probabilmente formalizzare un po' meglio. Getto le basi per un lavoretto che forse integrerò più avanti, quando il tempo lo permetterà, nel caso nessuno l'abbia fatto prima.

Assumo noto il teorema di classificazione delle superfici compatte.

L'unione di due tori è orientabile, quindi la superficie deve essere omeomorfa o alla sfera o a un k-toro. Per $k \geq 3$ è chiaramente (l'intuizione lo rende chiaro, la prova è un po' più complessa) impossibile che accada, quindi ci concentriamo su tori semplici e 2-tori (intesi sempre "pieni"). Userò \( \simeq \) per denotare l'omeomorfismo.

Se l'unione fosse un toro ad un solo buco, l'intersezione non potrebbe essere un 2-toro: un buco dovrebbe contenere l'altro (sempre a livello intuitivo, ma questo non è difficile).

Resta da considerare il caso del 2-toro. Se l'unione fosse un 2-toro, sarebbe omeomorfa all'intersezione. Dunque ciascun "addendo" dell'unione dovrebbe essere un 2-toro (se il resto è piuttosto semplice, la dimostrazione qui è il punto che mi resta più oscuro) ma questo contraddice l'ipotesi, dunque non può essere nemmeno un 2-toro.

Deve dunque essere che \( \mathbf{T}_1 \cup \mathbf{T}_2 \simeq \mathbf{S}^3 \Leftarrow \mathbf{T_1} \cap \mathbf{T}_2 \simeq \mathbf{T}^2 \)

Approccio topologico. Credo sia vero anche il contrario dell'implicazione finale che ho scritto sopra, e una volta dimostrata questa non dovrebbe essere un problema. Appena riesco scrivo i dettagli.

P.S. Fonte? E mi piacerebbe vedere altri approcci...

[Epimenide93]

C'è un problema di fondo...

\(\mathbf{S}^3\) non è una superficie (ovvero una $2$-varietà), è una varietà topologica di dimensione $3$. È definita come il bordo di una $4$-palla.

Suggerimento

\(\mathbf{S}^3\) è omeomorfa ad (una leggera variazione di) uno spazio che dovrebbe essere piuttosto familiare a noi poveri esseri tridimensionali

"Frink":Fonte?

Fa parte del folklore matematico, ma puoi trovare una formulazione di questo problema su Seifert, Threllfall - A Textbook of Topology, capitolo 2, esercizio 4. Lì trovi una formulazione più forte, che volevo proporre come rilancio una volta data una soluzione alla mia proposta.

[Frink1]

Oddio, mi vergogno da morire della risposta adesso... Pensavo fosse una notazione (abbastanza particolare, a dire il vero) per $\mathbf{S}^2$ e non mi sono nemmeno posto troppo il problema... E tori pieni lo pensavo perché avesse senso l'intersezione argh.

Ritiro tutto e mi eclisso con vergogna assoluta, adios

[Epimenide93]

"Frink":Ritiro tutto e mi eclisso con vergogna assoluta, adios

Esagerato! Capita a tutti di sbagliare, e in buona parte è anche colpa mia, ché ho esposto il problema in maniera un po' troppo sloppy, e me ne scuso. Lascia l'eclissarsi agli astri e quando ti va riprovaci

[dissonance]

[ot]Approfitto di questo thread su $\mathbb{S}^3$ per segnalare questo articolo apparso sull'Americal Journal of Physics:

http://scitation.aip.org/content/aapt/j ... 19/1.11968

Non sono in grado di esprimermi sul fatto che Dante conoscesse la 3-sfera, ma sicuramente si tratta di un articolo interessante.[/ot]

[beltzer]

$S^3=\partial D^4=\partial (D^2\times D^2)=((\partial D^2)\times D^2) \cup (D^2\times (\partial D^2))=(S^1\times D^2) \cup (D^2\times S^1)$ e quindi $S^3$ è l'unione di due $D^2\times S^1$, cioè di due tori pieni.
D'altro canto $(S^1\times D^2)\cap(D^2\times S^1)=S^1\times S^1$ è un toro!

C'è un modo più geometrico?