Macchine su pista e tempi di percorrenza (problema di minimo?)

[Aster89]

Salve,
Mi sono chiesto, più di una volta, qual è il percorso più veloce all'interno di un circuito. Parlo di automobili in un circuito stradale chiuso.

È ovvio che si può fare l'ipotesi di macchinina puntiforme, pilota (anch'egli puntiforme, ahah) dai riflessi fulminei, ecc. Il circuito è inteso come parte del piano compresa tra due curve sufficientemente regolari e strettamente interne l'una all'altra, ecc.

Nel problema penso che gli aspetti importanti siano 3:
(1) La lunghezza del percorso;
(2) L'attrito statico massimo tra ruote della macchina e l'asfalto;
(3) il punto di partenza!
Si dovrebbe minimizzare il tempo al variare del percorso tra tutti quelli possibili (infiniti e non numerabili)

A proposito di (1), se ci fosse stata la sola curva interna del circuito, avrei detto che la lunghezza minima è quella della più piccola curva convessa contenente il suo (suo, non proprio) interno; dato che c'è il ciglio esterno della strada.. il percorso più breve è quello del più corto spago che passa tra ciglio esterno e ciglio interno.
A proposito di (2), evidentemente l'attrito statico non deve essere ecceduto dalla forza centrifuga in alcun punto del circuito. In particolare credo sia buona l'ipotesi che la macchinina ha sempre l'accelerazione massima consentita dalla curvatura locale del percoso.
A proposito di (3), credo abbia un'importanza fondamentale, ma forse mi sbaglio. Ad ogni modo suppongo che la macchinina parta alla massima velocità consentita..

Be', che sto facendo chiacchiere inutili? O qualcun'altro è attratto da questa domanda?

Enrico Maria

EDIT: Dimenticavo. Ho nominato lo spago tra le due curve a un certo punto, per fare riferimento al percorso più corto nella pista. Naturalmente (credo!) non è quello di tempo minimo perché, in generale, potrebbe avere delle curvature eccessive che impongono dei rallentamenti alla macchinina.
Fin da quando mi sono posto questa domanda, ho pensato alle travi di Eulero. Se invece dello spago, utilizzo una trave di Eulero.. quella assume una forma che minimizza la curvatura in ogni punto..

[bosmer-votailprof]

Si tratta di un problema interessante.
Secondo me si può perlomeno impostare con un integrale d'azione, poi che si possano calcolare le curve che minimizzano l'azione è tutto un altro discorso e dipenderà da quanto è arzigogolato il circuito, ed in particolare dipenderà dal rapporto fra peso della macchina coefficiente di attrito dinamico ed accelerazioni centripete che però varieranno lungo il percorso se questo non è circolare.