Le successioni convergenti determinano la topologia?
Oi 
Stavo leggendo questo dove Fioravante afferma che sapere quali siano le successioni convergenti e a cosa convergono non basta per determinare la topologia. In altre parole possono esistere due topologie distinte su uno stesso insieme che producono le stesse successioni convergenti e non solo, per ogni successione convergente il limite è lo stesso. Purtroppo il link che ha fornito non mi funziona.
Riformulo: Fioravante afferma che esiste un insieme [tex]X[/tex] con due topologie distinte [tex]T_1,T_2[/tex] tali che l'insieme delle coppie (successione convergente, suo limite) è lo stesso in entrambe.
Avete idee su come costruire un tale oggetto?
Stavo leggendo questo dove Fioravante afferma che sapere quali siano le successioni convergenti e a cosa convergono non basta per determinare la topologia. In altre parole possono esistere due topologie distinte su uno stesso insieme che producono le stesse successioni convergenti e non solo, per ogni successione convergente il limite è lo stesso. Purtroppo il link che ha fornito non mi funziona.
Riformulo: Fioravante afferma che esiste un insieme [tex]X[/tex] con due topologie distinte [tex]T_1,T_2[/tex] tali che l'insieme delle coppie (successione convergente, suo limite) è lo stesso in entrambe.
Avete idee su come costruire un tale oggetto?
Risposte
Ciao Martino! 
Prendi \( \ell^1 \) (lo spazio delle successioni sommabili) con la topologia forte (quella usuale) e la topologia debole. Le topologie sono diverse ma non è difficile verificare che le successioni convergenti sono le stesse (è un famoso risultato di Analisi Funzionale, talvolta noto come Lemma di Schur).
Prendi \( \ell^1 \) (lo spazio delle successioni sommabili) con la topologia forte (quella usuale) e la topologia debole. Le topologie sono diverse ma non è difficile verificare che le successioni convergenti sono le stesse (è un famoso risultato di Analisi Funzionale, talvolta noto come Lemma di Schur).
Che storia grazie! Esisteranno esempi di natura diversa?
grazie! Esisteranno esempi di natura diversa?
Prego figurati!
Eh, è un fatto carino e da tenere a mente. Mi ricordo, inoltre, di un esercizio carino del Costara-Popa che diceva che valeva una sorta di viceversa: per \(1 \le p < \infty \), \( \ell^p \) soddisfa la "Schur Property" se, e solo se, $p=1$.
Questa non è comunque una risposta alla tua domanda: non so proprio se esistano esempi di natura diversa.
Eh, è un fatto carino e da tenere a mente. Mi ricordo, inoltre, di un esercizio carino del Costara-Popa che diceva che valeva una sorta di viceversa: per \(1 \le p < \infty \), \( \ell^p \) soddisfa la "Schur Property" se, e solo se, $p=1$.
Questa non è comunque una risposta alla tua domanda: non so proprio se esistano esempi di natura diversa.
Ottimo grazie, molto interessante!
Quanto agli esempi di natura diversa, per esempio quali sono quelle topologie Hausdorff su un dato insieme tali che le uniche successioni convergenti sono quelle definitivamente costanti? Chiaramente quella discreta c'è, ma ce ne possono essere altre? A occhio mi sembra di no.
Quanto agli esempi di natura diversa, per esempio quali sono quelle topologie Hausdorff su un dato insieme tali che le uniche successioni convergenti sono quelle definitivamente costanti? Chiaramente quella discreta c'è, ma ce ne possono essere altre? A occhio mi sembra di no.
Credo che sorgano un sacco di problemi se lo spazio non e' primo-numerabile ($N_1$ nel seguito).
Se $X$ e' $N_1$, Hausdorff (non sono neanche sicuro che sia necessario) e le uniche successioni convergenti sono costanti, allora la topologia e' quella discreta. Se cosi' non fosse, esiste un punto che non e' aperto; prendiamo un sistema fondamentale numerabile di intorni di quel punto (la cui esistenza e' garantita da $N_1$), e costruiamo una successione non costante che converge al punto scelto.
Se $X$ non e' $N_1$ mi viene in mente questo esempio, ma non ho avuto tempo di sviluppare i dettagli. Sia $\Omega$ il primo ordinale piu' che numerabile. Esiste una topologia naturale (la topologia generata dall'ordine) su $[0,\Omega]$, che e' Hausdorff. In questa topologia $\Omega$ non ha un sistema fondamentale di intorni numerabile, perche' $[0,\Omega)$ e' compatto per successioni (ma non compatto). In particolare le uniche successioni convergenti a $\Omega$ sono quelle costanti.
Se ora raffiniamo questa topologia dicendo che ogni punto di $[0,\Omega)$ e' aperto, la topologia che otteniamo sull'intero $[0,\Omega]$ non dovrebbe essere la topologia discreta, ma le uniche successioni convergenti sono quelle costanti. Tuttavia non vorrei che questo "raffinamento" forzi che $\Omega$ e' aperto, ma cosi' a occhio mi sembra di no.
Una buona fonte per questi esempi con gli ordinali e' Topology di Dugundji (vecchiotto, ma scritto molto bene); tuttavia non ce l'ho sotto mano per controllare i dettagli.
Se $X$ e' $N_1$, Hausdorff (non sono neanche sicuro che sia necessario) e le uniche successioni convergenti sono costanti, allora la topologia e' quella discreta. Se cosi' non fosse, esiste un punto che non e' aperto; prendiamo un sistema fondamentale numerabile di intorni di quel punto (la cui esistenza e' garantita da $N_1$), e costruiamo una successione non costante che converge al punto scelto.
Se $X$ non e' $N_1$ mi viene in mente questo esempio, ma non ho avuto tempo di sviluppare i dettagli. Sia $\Omega$ il primo ordinale piu' che numerabile. Esiste una topologia naturale (la topologia generata dall'ordine) su $[0,\Omega]$, che e' Hausdorff. In questa topologia $\Omega$ non ha un sistema fondamentale di intorni numerabile, perche' $[0,\Omega)$ e' compatto per successioni (ma non compatto). In particolare le uniche successioni convergenti a $\Omega$ sono quelle costanti.
Se ora raffiniamo questa topologia dicendo che ogni punto di $[0,\Omega)$ e' aperto, la topologia che otteniamo sull'intero $[0,\Omega]$ non dovrebbe essere la topologia discreta, ma le uniche successioni convergenti sono quelle costanti. Tuttavia non vorrei che questo "raffinamento" forzi che $\Omega$ e' aperto, ma cosi' a occhio mi sembra di no.
Una buona fonte per questi esempi con gli ordinali e' Topology di Dugundji (vecchiotto, ma scritto molto bene); tuttavia non ce l'ho sotto mano per controllare i dettagli.
"Pappappero":
Hausdorff (non sono neanche sicuro che sia necessario)
Direi che lo è, senza l'unicità dei limiti si perde il legame tra le funzioni continue e la convergenza.
"Pappappero":
Se ora raffiniamo questa topologia dicendo che ogni punto di $[0,\Omega)$ e' aperto[...]
Non è già vero considerando $\Omega$ con la topologia dell'ordine? Per $\alpha$ ordinale, vale $\alpha = [0,\alpha) \cap [0,\alpha +1) = \alpha \cap \alpha +1$.
No..secondo la topologia dell'ordine, se $\alpha$ e' un ordinale limite (cioe' non e' della forma $\beta+1$ per qualche $\beta$ ordinale), allora il singoletto $\{ \alpha \}$ non e' aperto (fatta eccezione per $\alpha = 0$). Ad esempio, se $\omega$ e' il piu' piccolo ordinale infinito, allora $\{ \omega \}$ non e' aperto e una base di intorni di $\omega$ sono gli intervalli della forma $(n,\omega+1)$ con $n$ finito (cioe' un numero naturale).
Forse ho creato un po' di confusione perche' non sto identificando l'ordinale $\alpha$ con l'intervallo $[0,\alpha]$. Non sono sicuro di quale sia la notazione piu' corretta, ma nel mio post gli intervalli indicano sempre "tutti gli ordinali dall'estremo sinistro all'estremo destro". In particolare $\alpha$ e' l'ultimo elemento di $[0,\alpha]$ e non l'intero intervallo (sebbene ci sia una biiezione).
Forse ho creato un po' di confusione perche' non sto identificando l'ordinale $\alpha$ con l'intervallo $[0,\alpha]$. Non sono sicuro di quale sia la notazione piu' corretta, ma nel mio post gli intervalli indicano sempre "tutti gli ordinali dall'estremo sinistro all'estremo destro". In particolare $\alpha$ e' l'ultimo elemento di $[0,\alpha]$ e non l'intero intervallo (sebbene ci sia una biiezione).
"Pappappero":
se $\alpha$ e' un ordinale limite [...] il singoletto $\{ \alpha \}$ non e' aperto
Giusto, mi aveva tratto in inganno il fatto che $\alpha$ visto come insieme è aperto.
"Pappappero":
non sto identificando l'ordinale $\alpha$ con l'intervallo $[0,\alpha]$
È giusto così, infatti $[0,\alpha]$ è $\alpha + 1$, mentre $\alpha$ è $[0,\alpha)$.
Allora direi che l'esempio torna. Infatti $\Omega$ è un punto limite (punto d'accumulazione in senso topologico) per $[0,\Omega)$, quindi quest'ultimo insieme non può essere chiuso. Occorre fare attenzione, infatti $\Omega$ non è un punto d'accumulazione (sequenziale) per $[0,\Omega)$, ma visto che lo spazio $[0, \Omega]$ non è $N_1$ questo non è un problema.
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[ot]
Certo. Non va dimenticato però che, normalmente, sapere chi siano le successioni convergenti e a cosa convergano non basta per caratterizzare la topologia.
Vedi: http://matematicamente.it/forum/viewtop ... 407#p82407
Credo che valga anche per classi un po' più ampie di spazi topologici, ma non ho una risposta precisa da dare, hic et nunc. E' una tematica similare al problema della differenza fra "chiuso" e "sequenzialmente chiuso" che Tipper ricorderà, essendo stato trattato in un thread precedente:
http://matematicamente.it/forum/viewtop ... 786#190786
Comunque suggerirei a Tipper di preoccuparsi di comprendere bene quello che avviene a livello di spazi metrici e di limitare a farsi un nodo al fazzoletto per ricordarsi che non tutto si estende al caso più generale degli spazi topologici.[/quote][/ot]
"Martino":prova ora
Stavo leggendo questo
[...] Purtroppo il link che ha fornito non mi funziona.
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"Fioravante Patrone":
[quote="Martino"]
Per inciso, comunque, parlare di convergenza non implica la presenza di una metrica, ma casomai della proprietà T2, "Hausdorff", che assicura l'unicità del limite.
Certo. Non va dimenticato però che, normalmente, sapere chi siano le successioni convergenti e a cosa convergano non basta per caratterizzare la topologia.
Vedi: http://matematicamente.it/forum/viewtop ... 407#p82407
"Martino":
Ma se non sbaglio, l'equivalenza tra "sequenzialmente compatto" e "compatto" in generale non vale che per spazi metrici (ma potrei sbagliare).
Credo che valga anche per classi un po' più ampie di spazi topologici, ma non ho una risposta precisa da dare, hic et nunc. E' una tematica similare al problema della differenza fra "chiuso" e "sequenzialmente chiuso" che Tipper ricorderà, essendo stato trattato in un thread precedente:
http://matematicamente.it/forum/viewtop ... 786#190786
Comunque suggerirei a Tipper di preoccuparsi di comprendere bene quello che avviene a livello di spazi metrici e di limitare a farsi un nodo al fazzoletto per ricordarsi che non tutto si estende al caso più generale degli spazi topologici.[/quote][/ot]
Mi sembra di essere stato riesumato 
E complimenti a Paolo90 per l'esempio.
Non posso giurare su cosa pensavo quasi dieci anni fa scrivendo quelle cose, ma non credo proprio che avessi in mente qualcosa di così carino come il suo esempio.
E complimenti a Paolo90 per l'esempio.
Non posso giurare su cosa pensavo quasi dieci anni fa scrivendo quelle cose, ma non credo proprio che avessi in mente qualcosa di così carino come il suo esempio.
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