Labilità del "confine" tra convergenza e divergenz

[gugo82]

Un classico... C'è gente che ha scritto paragrafi e capitoli di libri su quest'argomento.
Le indicazioni bibliografiche le fornirò dopo la soluzione.

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A tutti gli studenti di Analisi I è noto il seguente semplice criterio di confronto asintotico per stabilire la convergenza/divergenza di una serie a termini (definitivamente) non negativi:

Sia [tex]\sum a_n[/tex] una serie reale a termini (definitivamente) non negativi con [tex]$\lim_n a_n=0$[/tex].
Allora:

i) se [tex]$(a_n)$[/tex] è infinitesima d'ordine [tex]$\alpha >1$[/tex], la serie [tex]\sum a_n[/tex] converge;

ii) se [tex]$(a_n)$[/tex] è infinitesima d'ordine non maggiore di [tex]$1$[/tex], la serie [tex]\sum a_n[/tex] diverge.

Quando qui e nel seguito si dice "infinitesima d'ordine..." si intende rispetto all'infinitesimo campione [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex].

Sembrerebbe quindi che sia possibile definire una sorta di "confine" ben marcato tra le serie divergenti e quelle convergenti... Tuttavia ciò non accade, come è possibile constatare risolvendo il seguente:

Esercizio:

Dimostrare che esistono infinite successioni [tex]$(a_n^h), (b_n^k)$[/tex] tali che:

1. per ogni [tex]$h,k\in \mathbb{N}$[/tex], [tex]$(a_n^h)$[/tex] e [tex]$(b_n^k)$[/tex] sono infinitesime d'ordine maggiore di [tex]$1$[/tex] ma non dotate di ordine;
2. per ogni [tex]$h\in \mathbb{N}$[/tex] [risp. per ogni [tex]$k\in \mathbb{N}$[/tex]] [tex]$(a_n^{h+1})$[/tex] [risp. [tex]$(b_n^{k+1})$[/tex]] è infinitesima d'ordine superiore rispetto ad [tex]$(a_n^h)$[/tex] [risp. [tex]$(b_n^k)$[/tex]];
3. ogni [tex]$(b_n^k)$[/tex] è infinitesima d'ordine superiore rispetto ad ogni [tex]$(a_n^h)$[/tex];
4. ogni [tex]\sum_n a_n^h[/tex] diverge ed ogni [tex]\sum_n b_n^k[/tex] converge.

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Ne consegue che, se si vuole tenere conto anche delle serie con addendi infinitesimi non dotati di ordine, la i) va modificata come segue:

i) se [tex]$(a_n)$[/tex] è infinitesima d'ordine non inferiore ad [tex]$\alpha >1$[/tex], la serie [tex]\sum a_n[/tex] converge.

Infatti è ben evidente che la condizione [tex]$(a_n)$[/tex] è infinitesima d'ordine non inferiore ad un numero [tex]$\alpha >1$[/tex] è più debole della condizione [tex]$(a_n)$[/tex] è infinitesima d'ordine [tex]$>1$[/tex] nell'enunciato precedente; tuttavia tali condizioni si equivalgono se (e solo se) [tex]$(a_n)$[/tex] è un infinitesimo dotato di ordine (sempre rispetto ad [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex]).

[maurer]

Metto in spoiler la mia soluzione (o presunta tale).

Sia [tex]\lambda > 0[/tex] un numero reale. Definiamo [tex]\alpha_n^\lambda = \frac{1}{n(\ln n)^\lambda}[/tex]. Allora
[tex]\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \cdot \alpha_n^\lambda = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{(\ln n)^\lambda} = 0[/tex]
e quindi l'ordine di infinitesimo di [tex]\{\alpha_n^\lambda\}[/tex] è maggiore di 1. D'altra parte per ogni [tex]\epsilon > 0[/tex] si ha
[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^{1+\epsilon} \cdot \alpha_n^\lambda = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{\epsilon}}{(\ln n)^\lambda} = +\infty[/tex]
e quindi il loro ordine di infinitesimo è minore di [tex]1 + \epsilon[/tex] per ogni [tex]\epsilon > 0[/tex], il che significa che non hanno ordine di infinitesimo confrontabile con il campione [tex]\frac{1}{n}[/tex]. Infine, per studiare la convergenza della serie [tex]\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n (\ln n)^\lambda}[/tex] usiamo il criterio di condensazione di Cauchy (essendo evidentemente non crescente la funzione che definisce l'n-esimo termine della successione). Si tratta quindi di studiare il carattere di
[tex]\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty 2^n \frac{1}{2^n n^\lambda (\ln 2)^\lambda} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^\lambda (\ln 2)^\lambda}[/tex]
e quest'ultima converge sse [tex]\lambda > 1[/tex], e quindi diverge se [tex]0 < \lambda \le 1[/tex].

Inoltre se [tex]\lambda > \mu[/tex] si ha
[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{\alpha_n^\lambda}{\alpha_n^\mu} = n^{\lambda - \mu} (\ln n)^{\lambda - \mu} = 0[/tex]
e quindi [tex]\{\alpha_n^\lambda\}[/tex] ha ordine di infinitesimo maggiore di [tex]\{\alpha_n^\mu\}[/tex].
A questo punto la soluzione mi sembra a portata di mano. Basta porre
[tex]a_n^h = \alpha_n^{h+1}[/tex] e [tex]b_n^k = \alpha_n^{1 - \frac{1}{k+1}}[/tex]

P.S. Comunque, bell'esercizio. Ne avevo sentito parlare, ma non mi ero mai messo a cercare queste successioni. Sono contento di averlo svolto, anche se ormai sono passati quasi due anni dal mio esame di Analisi 1...