La "condizione di stabilità" è più debole

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Costruire una successione \( \{x_n \}_{n \in \mathbb{N} } \subseteq \mathbb{R} \) tale che \( x_n - x_{n+1} \to 0 \) per \(n \to \infty \) ma che non sia di Cauchy.

[anto_zoolander]

Premetto che ho letto solo l’esercizio per non ‘viziare’ la mia risposta.
Le mie considerazioni sono le seguenti:

1) chiedere che $(x_n)_(n inNN)$ non sia di Cauchy, in $RR$, equivale a chiedere che non converga.

2) Prendiamo $X={(a_n)_(n inNN)|a_n->0}$ e definiamo $(x_n)_(n inNN)$ in questo modo.

$(•)$ ${(x_(n+1)-x_n=a_n,foralln inNN),(x_0=x,a inRR):}$

Notiamo che se $(x_n)$ è una successione richiesta, allora la successione $x_(n+1)-x_n inX$
Vogliamo mostrare ora in quali casi una successione definita come $(•)$ risulti essere una successione richiesta.

Supponiamo che $(x_n)$ sia una successione tale che $x_(n+1)=x_n+a_0$. Salta subito all’occhio che,

$x_1=a_0+x_0$
$x_2=a_1+x_1=a_1+a_0+x_0$

Di fatto possiamo mostrare per induzione che,

$x_n:={(x+sum_(k=0)^(n-1)a_k if n>0),(x if n=0):}$

Per $n=0,1$ è vera.

supponiamo sia vero per $ngeq1$ e mostriamo che è vera per $n+1$

$x_(n+1)=x_n+a_n=x+sum_(k=0)^(n-1)a_k+a_n=x+sum_(k=0)^(n)a_k$

quindi se $x_n$ soddisfa quella relazione allora deve essere di questo tipo.
Da questo abbiamo dedotto che

$x_(n+1)-x_n ->0 <=> x_n={(x+sum_(k=0)^(n-1)a_k if n>0),(x if n=0):}, a_n->0$

pertanto chiedere che una successione soddisfacente la prima condizione, ovvero che $x_(n+1)-x_n->0$ significa chiedere che esista una successione $a_n$ tale che $x_n=....$

quindi chiedere la seconda condizione significa chiedere che $sum_(k=0)^(n)a_k->+infty$ o che non ammetta limite.

Quindi le soluzioni del problema sono tutte e sole le successioni scritte come $x_n={(sum_(k=0)^(n-1)a_k+x if n>0),(x if n=0):}$. Dove $sum_(k=0)^(n-1)a_k$ non converge, mentre il suo termine generico converge a $0$.

Spero che le considerazioni 'generali' siano corrette, fatemi sapere!