La "condizione di stabilità" è più debole

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Costruire una successione \( \{x_n \}_{n \in \mathbb{N} } \subseteq \mathbb{R} \) tale che \( x_n - x_{n+1} \to 0 \) per \(n \to \infty \) ma che non sia di Cauchy.

[Bremen000]

La serie armonica!

\[ S_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} S_n = + \infty \]
e dunque non è di Cauchy.

Ma \( |S_n - S_{n+1}| = \frac{1}{n+1} \to 0 \).

[dissonance]

Ne abbiamo parlato qualche mese fa, è uno spunto di riflessione importante:

viewtopic.php?p=8309582#p8309582

(ci sono vari esempi, tra cui quello di Bremen, che è corretto).

Un esercizio interessante è dimostrare che la "condizione di stabilità" dell'OP implica che i punti limite di \(x_n\) formano un intervallo. (Definizione: l'insieme dei punti limite di \(x_n\) è \(\{ \ell\in\mathbb R \ :\ x_{k(n)}\to \ell\ \text{per qualche sottosuccessione }x_{k(n)}\}\).)

[Bremen000]

@dissonance, bello!

Mi basta dimostrare che se \( \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) ha come punti limite $a,b \in RR$ e vale $|x_n - x_{n+1}| \to 0$ allora, se si ha $a
Sia \( \epsilon >0 \) fissato. Per definizione di limite esiste un $N_{\epsilon} \in NN $ tale che $|x_n - x_{n+1}|<\epsilon$ per ogni $n>N_{\epsilon}$.

Poiché $a$ è un punto limite esiste certamente un $n_1 >N_{\epsilon}$ tale che $x_{n_1} Poiché $b$ è un punto limite esiste certamente un $n_2 >n_1$ tale che $x_{n_2} >y$.

Deve esistere quindi un \( \overline{n} \in \{n_1, \dots n_2-1\} \) tale che \( x_{\overline{n}} < x \le x_{\overline{n}+1} < x_{\overline{n}} + \epsilon \) e dunque x- x_{\overline{n}} < epsilon.

credo

[Sk_Anonymous]

Credo che questo esercizio sia interessante in quanto mostra la forza della condizione di Cauchy. Naively, non basta che i termini di una successioni si avvicinino l'un l'altro sempre di piu', serve che lo facciano con una certa velocita'.

@Bremen: e' corretto l'esempio, avevo costruito qualcosa di simile. Tuttavia non sono d'accordo con la tua seconda dimostrazione: dimostri che dati due punti limite \(a\) e \(b\) allora l'intero \( [a,b]\) e' fatto di punti limite. Quindi, detto \(L\) l'insieme dei punti limite, mi pare che tu dimostri soltanto qualcosa tipo \( [a,b] \subseteq L \).

[Bremen000]

Ciao Delirium,
Non capisco, ho fatto vedere che l’insieme dei punti limite è convesso e dunque è un intervallo.

[Sk_Anonymous]

Si', ma dato \(x\) punto limite, e' vero che \(x \in [a,b]\)?
Tu dici: prendo due punti limite \(a\) e \(b\) e dimostro che tutto l'intervallo \([a,b]\) e' fatto di punti limite. Ok. Quello che (mi pare) non dimostri e' che tutti i punti limite stanno in \( [a,b]\) (ed e', credo, la parte difficile, perche' gia' nella selezione di \(a\) e \(b\) stai presupponendo che essi siano gli estremi del tuo intervallo).

[Bremen000]

Mmmm non capisco bene cosa intendi. L’obiettivo era mostrare che $L$ era un intervallo. Io ho fatto vedere che $L$ è convesso. Se siamo d’accordo su questo allora non capisco dove sia il problema! Perdonami ma probabilmente mi sto perdendo qualcosa...

[Sk_Anonymous]

Prova a rispondere a questa domanda

"Delirium":Si', ma dato \(x\) punto limite, e' vero che \(x \in [a,b]\)? [...]

Credo che l'errore stia nella "scelta" di \(a\) e \(b\). Non li puoi fissare cosi'. Piuttosto, siano \( a = \inf L\) e \(b= \sup L \). Da qui il tuo argomento funziona.

[Bremen000]

Secondo me la domanda posta così non ha senso perché $a$ e $b$ non è chiaro chi siano. Una volta che ho fatto vedere che è connesso, ovviamente ho che \( L = (\inf L, \sup L ) \) (non ho pensato se l’insieme magari è aperto o chiuso ma a meno di quadre dovrebbe essere così).

[Sk_Anonymous]

"Bremen000":Secondo me la domanda posta così non ha senso perché $a$ e $b$ non è chiaro chi siano. [...]

Appunto! Ma il selezionare due punti \(a\) e \(b\) e' il punto di partenza della tua dimostrazione. Sembra che tu li abbia fissati.

"Bremen000":[...] ovviamente ho che \( L = (\inf L, \sup L ) \) (non ho pensato se l’insieme magari è aperto o chiuso ma a meno di quadre dovrebbe essere così).

Questo e' giusto, ma a me non era chiaro dalla dimostrazione.

[Bremen000]

In ogni caso è chiuso, ora che ci penso!

[dissonance]

L'idea della dimostrazione è giusta, ma a mio avviso bisogna scriverla meglio. Dati punti limite \(a
Infatti si può dimostrare anche una sorta di implicazione opposta: dato un intervallo chiuso (non necessariamente limitato), esiste una successione \(x_n\) che verifica \(|x_{n+1}-x_n|\to 0\) e tale che l'insieme dei suoi punti limite sia esattamente l'intervallo dato.

---

In generale, data una successione \(x_n\) di punti di \(\mathbb R^n\) che verifica \(d(x_n, x_{n+1}) \to 0\), immagino si possa dimostrare che l'insieme dei punti limite è un convesso chiuso. (Qui \(d\) denota la distanza). Però non so se il viceversa sia vero (dove "viceversa" significa: dato un convesso chiuso esiste una successione che lo abbia come insieme dei punti limite). Queste potrebbero essere domande difficili.

[Sk_Anonymous]

"Bremen000":In ogni caso è chiuso, ora che ci penso!

Ho ripensato alla tua costruzione e in effetti funziona (modulo le osservazioni di dissonance, ma overall a me sembra a posto), ho probabilmente interpretato male le tue parole. Un oggetto \( I\) con la proprietà: \( a,b \in I \Longrightarrow (a,b) \subseteq I \) è un intervallo. Dovrebbe potersi vedere anche così: \( L = \bigcup_{a,b \in L} (a,b) \).

[Bremen000]

Ciao dissonance, sempre grazie mille per i link e gli spunti: dovrei mettermi a giocare con robe tipo riflessività e formulazioni deboli in questo periodo, ma trovo questi esercizi/spunti sempre un sacco interessanti...

La dimostrazione era fatta un po' di fretta, l'ho sistemata (credo):

Lemma
Sia \( \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) una successione tale che \( |x_{n+1}-x_n| \to 0 \). Allora l'insieme dei punti limite della successione è connesso.

Dimostrazione
Se l'insieme è vuoto oppure è composto da un solo punto allora è connesso. Altrimenti, se contiene almeno 2 punti distinti, dimostro che è convesso che implica che è connesso.

Siano dunque $a,b$ due punti limite distinti della successione. Senza perdere di generalità posso considerare $a
Sia \( d:= \min \{ |x-a|, |x-b| \} \) e sia \( \epsilon_n := \frac{d}{n+1} \) per ogni $n \in NN$.

Per definizione di successione convergente, esiste un $M \in NN$ tale che $|x_{k+1}-x_k|< \epsilon_n$ per ogni $k>M$.

Per definizione di (sotto)successione convergente:
1. esiste un $k_1>M$ tale che $|x_{k_1} -a|<\epsilon_n$
2. esiste un $k_2>k_1$ tale che $|x_{k_2}-b|< \epsilon_n$.

In particolare si ha dunque che $x_{k_1} <= x <= x_{k_2} $.

Allora esiste un \( \overline{k} : k_1 \le \overline{k} \le k_2 \) tale che \( |x_{\overline{k}}-x|<\epsilon_n\).

Infatti le palle \( B_{\epsilon_n} (x_{k_1}), B_{\epsilon_n} (x_{k_1+1}), \dots, B_{\epsilon_n} (x_{k_2}) \) hanno intersezione non vuota a coppie e dunque la loro unione è connessa e contiene $a$ e $b$. Dunque contiene $[a,b]$ e quindi $x$ appartiene all'unione di tali palle. Ovvero ne esiste una a cui $x$ appartiene. Chiamo $\overline{k}$ l'indice associato a tale palla.

Quindi in definitiva ho mostrato che per ogni $n \in NN$ è possibile trovare un elemento $x_{\overline{k}} \in \{x_n\}_{n \in NN}$ tale che $|x_{\overline{k}}-x|<\epsilon_n$. Ovvero si è estratta una sottosuccessione convergente a $x$.

@Delirium, bene! Sono contento di averti convinto

Purtroppo la mia dimostrazione non so quanto sia adattabile ad uno spazio metrico generale perché, anche solo in $RR^n$, la parte dove uso la connessione dell'unione di palle, fallisce. Suggerimenti?

[dissonance]

Mi pare vada bene, correggi i refusi: hai scritto \(a_k\) (chi è?) e \(y\) (chi è?).

In effetti mi pare che si possa adattare verbatim al caso di una successione in \(\mathbb R^n\), dimostrando che l'insieme dei punti limite di \(x_n\) è connesso (ma non convesso), se \(d(x_{n+1}, x_n)\to 0\). In un generico spazio metrico connesso non so se funziona, tu usi il fatto che le palle sono connesse e questo non è vero in generale (per esempio non è vero in \(\mathbb R^2\) privato di un segmento, che è uno spazio connesso ma contiene delle palle disconnesse).

---

Avevo ipotizzato che in \(\mathbb R^n\) l'insieme dei punti limite fosse convesso. Ripensandoci, sospetto fortemente che questo sia falso. Non dovrebbe essere difficile costruire una successione di punti di \(\mathbb R^2\) che verifichi \(d(x_{n+1}, x_n)\to 0\) e tale che l'insieme dei suoi punti limite è un arco di circonferenza.

[dissonance]

Solo per dire che ho modificato il post precedente.

[Bremen000]

"dissonance":Mi pare vada bene, correggi i refusi: hai scritto \(a_k\) (chi è?) e \(y\) (chi è?).

Sistemato!

Più che altro mi sa che nella mia dimostrazione è essenziale il fatto di potersi muovere in una sola direzione se no, in generale, il passaggio dove dico che l'intero segmento \( [a,b] \) è contenuto nell'unione delle palle, fallisce.

[Bremen000]

Mi sono messo a rileggere il post linkato qui

"dissonance": anche una sorta di implicazione opposta: dato un intervallo chiuso (non necessariamente limitato), esiste una successione \(x_n\) che verifica \(|x_{n+1}-x_n|\to 0\) e tale che l'insieme dei suoi punti limite sia esattamente l'intervallo dato.

e tra quelli suggeriti a lato c'era questo in cui non solo c'è una dimostrazione del problema dell'OP ma c'è anche un controesempio al fatto che la dimostrazione sia adattabile a \( \mathbb{R}^n \).

Peccato!

[dissonance]

Perché "peccato"? Invece è interessante. Grazie per il link!

[Bremen000]

Be' peccato perché mi sarebbe piaciuto vedere come si affrontava il problema in un contesto più generale! D'altra parte apprezzo anche il controesempio!