La Matematica come gioco formale.
A questo punto, visto che nella precedente discussione si dice che si sta discutendo di opinioni e che lavorare con le teorie matematiche presuppone l'adeguamento al modello descritto chiedo: perchè non ridursi a vedere la matematica come un sistema formale fatto di simboli, fbf, linguaggi, assiomi? Insomma, come se andare al Dipartimento significasse andare a sentire il professore che parla di un nuovo gioco con nuove regole. Un gioco davvero divertente! Oggi parliamo delle topologie! Che cos'è una topologia? Una topologia è un nuovo ente fantasy che consiste in un sottoinsieme dell'insieme delle parti tale che valgono certe proprietá. Non è fantastico ragazzi pensarla così? Io trovo molto più affascinante vedere la matematica in questo modo piuttosto che prenderla seriamente. Anzi, a dire il vero, negli ultimi tre anni l'ho presa solo in questo modo. Cioè introduco il concetto di topologia come se stessi introducendo un nuovo personaggio in Dungeons and Dragons, tipo:
Elfo. Forza:+30 Carisma:+50
Solo che al posto del personaggio elfo nel mondo immaginario dei matematici abbiamo:
Topologia. 1) Intersezione di chiusi è un chiuso ecc
Elfo. Forza:+30 Carisma:+50
Solo che al posto del personaggio elfo nel mondo immaginario dei matematici abbiamo:
Topologia. 1) Intersezione di chiusi è un chiuso ecc
Risposte
Mai detto che ti devi adeguare, ma rifiutare degli strumenti e degli assiomi ha conseguenze. Per esempio, sia accettare che rifiutare l'assioma della scelta provoca enormi conseguenze in moltissimi settori della matematica (anche se non molte nel "finito"). La consapevolezza di cosa cambia è importante. E ci sono stati matematici che si sono posti i tuoi problemi e studiare le loro considerazioni è più che altro buon senso. Comunque i logici matematici considerano la matematica come una successione di stringhe collegate secondo alcune regole di trasformazione. In particolar modo i logici intuizionisti, ma non solo. Se non l'hai ancora fatto ti suggerisco di aggiungere un corso nel settore disciplinare MAT/01. Insomma potrebbe essere di tuo gradimento.
Riguardo al ritenerle opinioni è legato al fatto che, usando la tua similitudine, ritenere che D20 system sia più o meno realistico e logico del sistema di RuneQuest è una opinione. Al contrario di quello che pensano in molti, in genere, non vi sono risposte necessariamente giuste o sbagliate. Certamente inoltre non è la popolarità a rendere le cose più vere. Penso che l'importante sia accettare le opinioni altrui.
Comunque io mi sento più vicino a Henri Poincaré che a Russell. Ma sei libero di approcciare la matematica come meglio credi.
Riguardo al ritenerle opinioni è legato al fatto che, usando la tua similitudine, ritenere che D20 system sia più o meno realistico e logico del sistema di RuneQuest è una opinione. Al contrario di quello che pensano in molti, in genere, non vi sono risposte necessariamente giuste o sbagliate. Certamente inoltre non è la popolarità a rendere le cose più vere. Penso che l'importante sia accettare le opinioni altrui.
Comunque io mi sento più vicino a Henri Poincaré che a Russell. Ma sei libero di approcciare la matematica come meglio credi.
"vict85":
Mai detto che ti devi adeguare, ma rifiutare degli strumenti e degli assiomi ha conseguenze. Per esempio, sia accettare che rifiutare l'assioma della scelta provoca enormi conseguenze in moltissimi settori della matematica (anche se non molte nel "finito"). La consapevolezza di cosa cambia è importante. E ci sono stati matematici che si sono posti i tuoi problemi e studiare le loro considerazioni è più che altro buon senso. Comunque i logici matematici considerano la matematica come una successione di stringhe collegate secondo alcune regole di trasformazione. In particolar modo i logici intuizionisti, ma non solo. Se non l'hai ancora fatto ti suggerisco di aggiungere un corso nel settore disciplinare MAT/01. Insomma potrebbe essere di tuo gradimento.
Riguardo al ritenerle opinioni è legato al fatto che, usando la tua similitudine, ritenere che D20 system sia più o meno realistico e logico del sistema di RuneQuest è una opinione. Al contrario di quello che pensano in molti, in genere, non vi sono risposte necessariamente giuste o sbagliate. Certamente inoltre non è la popolarità a rendere le cose più vere. Penso che l'importante sia accettare le opinioni altrui.
Comunque io mi sento più vicino a Henri Poincaré che a Russell. Ma sei libero di approcciare la matematica come meglio credi.
Non credo che i logici matematici considerino la matematica come la considero io, ossia solo un gioco di stringhe e e regole. Piuttosto hanno trovato più interessante lavorare su questo aspetto e allora ci studiano su tutta la vita ma sono assolutamente consapevoli di certe veritá matematiche. Io invece no, come ho scritto nella discussione precedente, non riesco ad accettare certe cose, o forse a capirle e quindi certi risultati, a meno che non mi venga fornito un controesempio o una dimostrazioje diretta non li ritengo veri, non li capisco, non sono sicuro che siano delle verità. Controesempio e dimostrazione diretta sono gli unici strumenti dimostrativi di cui ho sicurezza.
Non posso leggerti nella mente ma ti assicuro che molta logica matematica porta all'estremo il vedere la matematica come stringhe componibili a partire da assiomi e regole di deduzione. Basta cercare con google deduzione naturale per capire che intendo. O anche dare un occhiata ai Principia Mathematica di Russell. A seconda di assiomi e regole di deduzione ciò che è costruibile cambia. Insomma non capisco cosa intendi con consapevoli di verità matematiche. Tra l'altro la verità in matematica è sempre dipendente dalle premesse e dal punto di vista. Ciò che è vero può cambiare, seppur spesso un approccio sia preferibile a fini pratici ad un altro.
Ovviamente Gödel ha influito molto sulla logica e sulla matematica.
Ovviamente Gödel ha influito molto sulla logica e sulla matematica.
"vict85":
Non posso leggerti nella mente ma ti assicuro che molta logica matematica porta all'estremo il vedere la matematica come stringhe componibili a partire da assiomi e regole di deduzione. Basta cercare con google deduzione naturale per capire che intendo. O anche dare un occhiata ai Principia Mathematica di Russell. A seconda di assiomi e regole di deduzione ciò che è costruibile cambia. Insomma non capisco cosa intendi con consapevoli di verità matematiche. Tra l'altro la verità in matematica è sempre dipendente dalle premesse e dal punto di vista. Ciò che è vero può cambiare, seppur spesso un approccio sia preferibile a fini pratici ad un altro.
Ovviamente Gödel ha influito molto sulla logica e sulla matematica.
Intendo la veritá di un semplice teorema di Analisi dimostrato per assurdo, per esempio. Un logico matematico non ha problemi ad accettarlo, io si, perchè non capisco/non accetto la dimostrazione per assurdo. E nemmeno l'induzione. Tutti i modelli e le teorie che citi li conosco ma non c'entrano, è proprio il fatto di catturare la veritá del ragionamento per assurdo e l'induzione che non mi riesce.
Potranno forse vederne l'intuizione ma se non sanno se è un teorema nella loro teoria non lo useranno. Ci sono logiche con il terzo escluso e altre che non ce l'hanno, come la logica fuzzy (per citarne un'altra). Le dimostrazioni per assurdo sono sempre state criticate e ancora di più le regole di deduzioni create per quello scopo.
"vict85":
Ci sono logiche con il terzo escluso e altre che non ce l'hanno, come la logica fuzzy (per citarne un'altra). Le dimostrazioni per assurdo sono sempre state criticate
Prima di morire vorrei seguire un corso di logica
... posso chiedere, come off topic, quali sono le critiche moderne a questo tipo di dimostrazioni?
Ah, comunque aggiungo Vict: ecco, per esempio l'assioma della scelta, che citi spesso, io non ho alcuna difficoltá ad accettarlo. Wikipedia a tal proposito dice: ''sembra naturale, se si ha una collezione infinita di paia di scarpe, poter scegliere le scarpe destre di ogni paio'' mentre i problemi nascono quando si ha ad esempio, una collezione infinita di paia di calzini perchè non ha nessun criterio per poter scegliere. Per me il problema non sussiste in quanto nella mia mente visualizzo tutta la collezione come paia di calzini separati e quindi per me è sempre possibile scegliere. Cioè:
1) prima coppia di calzini
SPAZIO
2) seconda coppia di calzini
SPAZIO
3) terza coppia di calzini
E così via. Non mi sembra discutibile che possa scegliere da ogni coppia un elemento.
1) prima coppia di calzini
SPAZIO
2) seconda coppia di calzini
SPAZIO
3) terza coppia di calzini
E così via. Non mi sembra discutibile che possa scegliere da ogni coppia un elemento.
[ot]
Non ci sono "critiche", perché nel bene e nel male il Novecento ha cambiato tante cose. Ci sono approcci alternativi, con alcuni questo tipo di dimostrazioni sono lecite, con altri no. Entrambe le categorie di approccio hanno prodotto risultati notevoli e trovato riscontro in notevoli applicazioni.[/ot]
"Thomas":
Prima di morire vorrei seguire un corso di logica
Non ci sono "critiche", perché nel bene e nel male il Novecento ha cambiato tante cose. Ci sono approcci alternativi, con alcuni questo tipo di dimostrazioni sono lecite, con altri no. Entrambe le categorie di approccio hanno prodotto risultati notevoli e trovato riscontro in notevoli applicazioni.[/ot]
"Schiele.":
Ah, comunque aggiungo Vict: ecco, per esempio l'assioma della scelta, che citi spesso, io non ho alcuna difficoltá ad accettarlo. Wikipedia a tal proposito dice: ''sembra naturale, se si ha una collezione infinita di paia di scarpe, poter scegliere le scarpe destre di ogni paio'' mentre i problemi nascono quando si ha ad esempio, una collezione infinita di paia di calzini perchè non ha nessun criterio per poter scegliere. Per me il problema non sussiste in quanto nella mia mente visualizzo tutta la collezione come paia di calzini separati e quindi per me è sempre possibile scegliere. Cioè:
1) prima coppia di calzini
SPAZIO
2) seconda coppia di calzini
SPAZIO
3) terza coppia di calzini
E così via. Non mi sembra discutibile che possa scegliere da ogni coppia un elemento.
L'assioma della scelta finito non penso sia un assioma ma un teorema. È possibile invece usare un assioma più debole, cioè che valga solo nel numerabile. Ma ovviamente ha poco senso usarlo nella tua visione della logica.
"vict85":
[quote="Schiele."]Ah, comunque aggiungo Vict: ecco, per esempio l'assioma della scelta, che citi spesso, io non ho alcuna difficoltá ad accettarlo. Wikipedia a tal proposito dice: ''sembra naturale, se si ha una collezione infinita di paia di scarpe, poter scegliere le scarpe destre di ogni paio'' mentre i problemi nascono quando si ha ad esempio, una collezione infinita di paia di calzini perchè non ha nessun criterio per poter scegliere. Per me il problema non sussiste in quanto nella mia mente visualizzo tutta la collezione come paia di calzini separati e quindi per me è sempre possibile scegliere. Cioè:
1) prima coppia di calzini
SPAZIO
2) seconda coppia di calzini
SPAZIO
3) terza coppia di calzini
E così via. Non mi sembra discutibile che possa scegliere da ogni coppia un elemento.
L'assioma della scelta finito non penso sia un assioma ma un teorema. È possibile invece usare un assioma più debole, cioè che valga solo nel numerabile. Ma ovviamente ha poco senso usarlo nella tua visione della logica.[/quote]
Si, è un teorema di ZF nel finito. C'è Acw numerabile che è più debole ed è l'esempio che ti ho fatto dei calzini.
"Thomas":
Ma la matematica cambia? E' per caso un processo simile al passaggio dalle geometrie euclidee a quelle e non euclidee?
La prima domanda non la capisco. Una qualsiasi risposta alla seconda è opinabile ma secondo me le due cose non hanno molto in comune. Lo spirito (dal mio punto di vista) è più simile a quello che si vede guardando al cambiamento che c'è stato nella visione e nello studio della geometria prima e dopo del programma di Erlangen.
"Epimenide93":
[quote="Thomas"]
Ma la matematica cambia?
La prima domanda non la capisco[/quote]
Voglio dire. Prendiamo un qualsiasi risultato di analisi, topologia, algebra... in cui si fa' uso di una dimostrazione per assurdo e tale che non ve ne siano di costruttive. Cosa si deve pensare di questo risultato se si usano "approcci" come li chiami tu in cui la dimostrazione per assurdo non e' consentita? Forse a seconda dell' "approccio" si sviluppa una analisi, una geometria, ... differente in cui un enunciato puo' passare da vero a falso, o da dimostrabile ad indecidibile?
Spero la domanda sia un po' piu' chiara...
Certo, quei risultati non vengono considerati validi finché si rimane nell'ambito costruttivo. Generalmente quindi si ha una teoria "più povera".
"Schiele.":
A questo punto, visto che nella precedente discussione si dice che si sta discutendo di opinioni e che lavorare con le teorie matematiche presuppone l'adeguamento al modello descritto chiedo: perchè non ridursi a vedere la matematica come un sistema formale fatto di simboli, fbf, linguaggi, assiomi? Insomma, come se andare al Dipartimento significasse andare a sentire il professore che parla di un nuovo gioco con nuove regole. Un gioco davvero divertente! Oggi parliamo delle topologie! Che cos'è una topologia? Una topologia è un nuovo ente fantasy che consiste in un sottoinsieme dell'insieme delle parti tale che valgono certe proprietá. Non è fantastico ragazzi pensarla così? Io trovo molto più affascinante vedere la matematica in questo modo piuttosto che prenderla seriamente. Anzi, a dire il vero, negli ultimi tre anni l'ho presa solo in questo modo. Cioè introduco il concetto di topologia come se stessi introducendo un nuovo personaggio in Dungeons and Dragons, tipo:
Elfo. Forza:+30 Carisma:+50
Solo che al posto del personaggio elfo nel mondo immaginario dei matematici abbiamo:
Topologia. 1) Intersezione di chiusi è un chiuso ecc
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