La mappa di Frobenius
Propongo qualche esercizio che fa bene saper fare. 
Almeno fino all'esercizio 3 non ci dovrebbero essere particolari difficoltà; che tra l'altro, questo esercizio mi servì anni addietro per capire diverse cosucce... geometriche!
§§§
Esercizio 1. Sia \(\displaystyle R\) un anello commutativo con unità, considerata la funzione:
\[
\epsilon:n\in\mathbb{Z}\to n\cdot1_R\in R
\]
dimostrare che è un omomorfismo.
Definizione 1. Sia \(\displaystyle R\) un anello commutativo con unità; il numero \(\displaystyle c\in\mathbb{Z}_{\geq0}\) tale che \(\displaystyle\ker\epsilon=(c)\) si definisce caratteristica di \(\displaystyle R\) e la si indica con \(\displaystyle char(R)=c\).
Esercizio 2. Dimostrare che i domini di integrità (unitari) hanno caratteristica \(\displaystyle0\) o \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\) (numero primo).
Definizione 2. Sia \(\displaystyle\mathbb{K}\) un campo di caratteristica positiva \(\displaystyle p\), la funzione:
\[
\varphi:x\in\mathbb{K}\to x^p\in\mathbb{K}
\]
si chiama funzione di Frobenius.
Esercizio 3. Dimostrare che la funzione di Frobenius è un endomorfismo, calcolarne il nucleo e l'immagine. Evincere che per i campi finiti si può parlare di automorfismo di Frobenius.
Definizione 3. Un campo di caratteristica positiva il cui endomorfismo di Frobenius è un automorfismo si definisce perfetto.
Esercizio 4. Siano \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\), \(\displaystyle\mathbb{F}_p\) il campo di \(\displaystyle p\) elementi e \(\displaystyle\overline{\mathbb{F}_p}=\mathbb{K}\) la chiusura algebrica di \(\displaystyle\mathbb{F}_p\).
Dimostrare che \(\displaystyle\mathbb{K}\) è un campo perfetto.
Definizione 4. Siano \(\displaystyle\mathbb{F}\) un campo, \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{F}}\) ed \(\displaystyle\mathbb{A}^m_{\mathbb{F}}\) gli spazi affini su \(\displaystyle\mathbb{F}\) di dimensioni, rispettivamente, \(\displaystyle n\) ed \(\displaystyle m\).
Muniti tali spazi delle rispettive topologie di Zariski, una mappa continua \(\displaystyle\varphi:\mathbb{A}^n_{\mathbb{F}}\to\displaystyle\mathbb{A}^m_{\mathbb{F}}\) si definisce mappa o morfismo regolare se il suo pull-back associato \(\displaystyle\varphi^{*}:f\in\mathbb{F}[x_1,...,x_m]\to f\circ\varphi\in\mathbb{F}[y_1,...,y_n]\) è un omomorfismo di anelli.
Definizione 5. Senza cambiare i nomi dalla definizione 4, \(\displaystyle\varphi\) è un isomorfismo regolare se \(\displaystyle\varphi\) è sia un morfismo regolare che una funzione biettiva, inoltre, la sua funzione inversa \(\displaystyle\varphi^{-1}\) è un morfismo regolare.
Esercizio 5. Senza cambiare i nomi dall'esercizio 4: sia \(\displaystyle n\in\mathbb{N}\) e si consideri la mappa di Frobenius:
\[
F_{p,n}:(x_1,..,x_n)\in\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\to\left(x_1^p,...,x_n^p\right)\in\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}
\]
dello spazio affine \(\displaystyle n\)-dimensionale su \(\displaystyle\mathbb{K}\) con la topologia di Zariski in se stesso.
Dimostrare o confutare che \(\displaystyle F_{n,p}\) è un isomorfismo regolare.

Almeno fino all'esercizio 3 non ci dovrebbero essere particolari difficoltà; che tra l'altro, questo esercizio mi servì anni addietro per capire diverse cosucce... geometriche!

§§§
Esercizio 1. Sia \(\displaystyle R\) un anello commutativo con unità, considerata la funzione:
\[
\epsilon:n\in\mathbb{Z}\to n\cdot1_R\in R
\]
dimostrare che è un omomorfismo.
Definizione 1. Sia \(\displaystyle R\) un anello commutativo con unità; il numero \(\displaystyle c\in\mathbb{Z}_{\geq0}\) tale che \(\displaystyle\ker\epsilon=(c)\) si definisce caratteristica di \(\displaystyle R\) e la si indica con \(\displaystyle char(R)=c\).
Esercizio 2. Dimostrare che i domini di integrità (unitari) hanno caratteristica \(\displaystyle0\) o \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\) (numero primo).
Definizione 2. Sia \(\displaystyle\mathbb{K}\) un campo di caratteristica positiva \(\displaystyle p\), la funzione:
\[
\varphi:x\in\mathbb{K}\to x^p\in\mathbb{K}
\]
si chiama funzione di Frobenius.
Esercizio 3. Dimostrare che la funzione di Frobenius è un endomorfismo, calcolarne il nucleo e l'immagine. Evincere che per i campi finiti si può parlare di automorfismo di Frobenius.
Definizione 3. Un campo di caratteristica positiva il cui endomorfismo di Frobenius è un automorfismo si definisce perfetto.
Esercizio 4. Siano \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\), \(\displaystyle\mathbb{F}_p\) il campo di \(\displaystyle p\) elementi e \(\displaystyle\overline{\mathbb{F}_p}=\mathbb{K}\) la chiusura algebrica di \(\displaystyle\mathbb{F}_p\).
Dimostrare che \(\displaystyle\mathbb{K}\) è un campo perfetto.
Definizione 4. Siano \(\displaystyle\mathbb{F}\) un campo, \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{F}}\) ed \(\displaystyle\mathbb{A}^m_{\mathbb{F}}\) gli spazi affini su \(\displaystyle\mathbb{F}\) di dimensioni, rispettivamente, \(\displaystyle n\) ed \(\displaystyle m\).
Muniti tali spazi delle rispettive topologie di Zariski, una mappa continua \(\displaystyle\varphi:\mathbb{A}^n_{\mathbb{F}}\to\displaystyle\mathbb{A}^m_{\mathbb{F}}\) si definisce mappa o morfismo regolare se il suo pull-back associato \(\displaystyle\varphi^{*}:f\in\mathbb{F}[x_1,...,x_m]\to f\circ\varphi\in\mathbb{F}[y_1,...,y_n]\) è un omomorfismo di anelli.
Definizione 5. Senza cambiare i nomi dalla definizione 4, \(\displaystyle\varphi\) è un isomorfismo regolare se \(\displaystyle\varphi\) è sia un morfismo regolare che una funzione biettiva, inoltre, la sua funzione inversa \(\displaystyle\varphi^{-1}\) è un morfismo regolare.
Esercizio 5. Senza cambiare i nomi dall'esercizio 4: sia \(\displaystyle n\in\mathbb{N}\) e si consideri la mappa di Frobenius:
\[
F_{p,n}:(x_1,..,x_n)\in\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\to\left(x_1^p,...,x_n^p\right)\in\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}
\]
dello spazio affine \(\displaystyle n\)-dimensionale su \(\displaystyle\mathbb{K}\) con la topologia di Zariski in se stesso.
Dimostrare o confutare che \(\displaystyle F_{n,p}\) è un isomorfismo regolare.
Risposte
Ci provo.
Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Esercizio 5
Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Esercizio 5
Esercizio 1: come lo fai complicato... 
Esercizio 3: l'automorfismo di Frobenius non è l'identità dei campi finiti; e non hai calcolato l'immagine dell'endomorfismo di Frobenius!
Esercizio 5: perché la mappa di Frobenius è continua?
Esercizi 2 & 4: nulla da eccepire!

Esercizio 3: l'automorfismo di Frobenius non è l'identità dei campi finiti; e non hai calcolato l'immagine dell'endomorfismo di Frobenius!
Esercizio 5: perché la mappa di Frobenius è continua?
Esercizi 2 & 4: nulla da eccepire!

"j18eos":
Esercizio 1: come lo fai complicato...
Ho provato a cercare un modo più semplice per dimostrare che è un morfismo moltiplicativo, ma non l'ho trovato. Tu come lo dimostreresti?
"j18eos":
Esercizio 5: perché la mappa di Frobenius è continua?
Perché la controimmagine di un polinomio è un polinomio. Non basta?
"j18eos":
Esercizio 3: l'automorfismo di Frobenius non è l'identità dei campi finiti; e non hai calcolato l'immagine dell'endomorfismo di Frobenius!

"j18eos":
Esercizi 2 & 4: nulla da eccepire!
Grazie!

Esercizio 1. Basta ricordare che \(\displaystyle(R,+)\) è un gruppo abeliano! 
Esercizio 5. Ma se la mappa di Frobenius è tra spazi affini, non agisce sui polonimi; però, volendo calcolare l'anti-immagine del generico sottoinsieme chiuso del codominio...

Esercizio 5. Ma se la mappa di Frobenius è tra spazi affini, non agisce sui polonimi; però, volendo calcolare l'anti-immagine del generico sottoinsieme chiuso del codominio...
"j18eos":
Esercizio 1. Basta ricordare che \(\displaystyle(R,+)\) è un gruppo abeliano!
Beh, ma in pratica ho riportato esplicitamente una possibile dimostrazione del fatto che un gruppo abeliano è uno \(\mathbb{Z}\)-modulo senza usarlo come risultato noto. Usarlo direttamente come risultato si può concludere facilmente che \(\epsilon\) è un morfismo additivo e che \(\epsilon(ab) = a(b \cdot 1_R) = b(a \cdot 1_R)\), ma la parte finale (la dimostrazione per induzione) non penso si possa evitare.
"j18eos":
Esercizio 5. Ma se la mappa di Frobenius è tra spazi affini, non agisce sui polonimi; però, volendo calcolare l'anti-immagine del generico sottoinsieme chiuso del codominio...
Sì, è vero, l'ho fatto in modo un po' raffazzonato, stasera provo a riscrivere meglio la continuità.
In attesa che Epimenide93 o qualcun altro\qualcun'altra completi gli esercizi:
[list=a]
[*:2u2ih4cp] il nucleo e l'immagine dell'endomorfismo di Frobenius (meno l'elemento neutro della somma) sono gruppi rispetto alla moltiplicazione?[/*:m:2u2ih4cp]
[*:2u2ih4cp] è bene notare che la chiusura algebrica di un campo perfetto è un campo perfetto.[/*:m:2u2ih4cp][/list:o:2u2ih4cp]
P.S.: I campi di caratteristica \(\displaystyle0\) sono per definizione perfetti!
[list=a]
[*:2u2ih4cp] il nucleo e l'immagine dell'endomorfismo di Frobenius (meno l'elemento neutro della somma) sono gruppi rispetto alla moltiplicazione?[/*:m:2u2ih4cp]
[*:2u2ih4cp] è bene notare che la chiusura algebrica di un campo perfetto è un campo perfetto.[/*:m:2u2ih4cp][/list:o:2u2ih4cp]
P.S.: I campi di caratteristica \(\displaystyle0\) sono per definizione perfetti!
@Armando: mi hai riportato alla mente incubi del primo anno di Università, estate 1997... che te possino!

Fammi indovinare: questo incubo si chiamava esame di algebra?

"j18eos":
Fammi indovinare: questo incubo si chiamava esame di algebra?
Ma sei un genio... ma come hai fatto????

Chiedo scusa se rispondo solo ora, ma in questi giorni non avevo a disposizione una tastiera.
Per quel che riguarda le correzioni all'Esercizio 3
Quanto all'Esercizio 5
E sulla parte finale continuo a glissare perché sono troppo pigro per farlo nell'unica maniera in cui so farlo e troppo ignorante per farlo nella maniera elegante che ho intuito
Quanto alla domanda aggiuntiva, l'automorfismo di Frobenius è un isomorfismo di campi, quindi la sua restrizione a \(\displaystyle \mathbb{K}^* \) è un'automorfismo del gruppo moltiplicativo in sé stesso, ovvero il suo nucleo è il gruppo banale e la sua immagine è ancora \(\displaystyle \mathbb{K}^* \).
Per quel che riguarda le correzioni all'Esercizio 3
Quanto all'Esercizio 5
E sulla parte finale continuo a glissare perché sono troppo pigro per farlo nell'unica maniera in cui so farlo e troppo ignorante per farlo nella maniera elegante che ho intuito

Quanto alla domanda aggiuntiva, l'automorfismo di Frobenius è un isomorfismo di campi, quindi la sua restrizione a \(\displaystyle \mathbb{K}^* \) è un'automorfismo del gruppo moltiplicativo in sé stesso, ovvero il suo nucleo è il gruppo banale e la sua immagine è ancora \(\displaystyle \mathbb{K}^* \).
Esercizio 3: OK 
Esercizio 5: Eh no... Prova a calcolare l'antimmagine di \(\displaystyle(0,-1)\) mediante \(\displaystyle F_{2,2}\)!

Esercizio 5: Eh no... Prova a calcolare l'antimmagine di \(\displaystyle(0,-1)\) mediante \(\displaystyle F_{2,2}\)!