La mappa di Frobenius

[j18eos]

Propongo qualche esercizio che fa bene saper fare.

Almeno fino all'esercizio 3 non ci dovrebbero essere particolari difficoltà; che tra l'altro, questo esercizio mi servì anni addietro per capire diverse cosucce... geometriche!

§§§

Esercizio 1. Sia \(\displaystyle R\) un anello commutativo con unità, considerata la funzione:
\[
\epsilon:n\in\mathbb{Z}\to n\cdot1_R\in R
\]
dimostrare che è un omomorfismo.

Definizione 1. Sia \(\displaystyle R\) un anello commutativo con unità; il numero \(\displaystyle c\in\mathbb{Z}_{\geq0}\) tale che \(\displaystyle\ker\epsilon=(c)\) si definisce caratteristica di \(\displaystyle R\) e la si indica con \(\displaystyle char(R)=c\).

Esercizio 2. Dimostrare che i domini di integrità (unitari) hanno caratteristica \(\displaystyle0\) o \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\) (numero primo).

Definizione 2. Sia \(\displaystyle\mathbb{K}\) un campo di caratteristica positiva \(\displaystyle p\), la funzione:
\[
\varphi:x\in\mathbb{K}\to x^p\in\mathbb{K}
\]
si chiama funzione di Frobenius.

Esercizio 3. Dimostrare che la funzione di Frobenius è un endomorfismo, calcolarne il nucleo e l'immagine. Evincere che per i campi finiti si può parlare di automorfismo di Frobenius.

Definizione 3. Un campo di caratteristica positiva il cui endomorfismo di Frobenius è un automorfismo si definisce perfetto.

Esercizio 4. Siano \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\), \(\displaystyle\mathbb{F}_p\) il campo di \(\displaystyle p\) elementi e \(\displaystyle\overline{\mathbb{F}_p}=\mathbb{K}\) la chiusura algebrica di \(\displaystyle\mathbb{F}_p\).
Dimostrare che \(\displaystyle\mathbb{K}\) è un campo perfetto.

Definizione 4. Siano \(\displaystyle\mathbb{F}\) un campo, \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{F}}\) ed \(\displaystyle\mathbb{A}^m_{\mathbb{F}}\) gli spazi affini su \(\displaystyle\mathbb{F}\) di dimensioni, rispettivamente, \(\displaystyle n\) ed \(\displaystyle m\).
Muniti tali spazi delle rispettive topologie di Zariski, una mappa continua \(\displaystyle\varphi:\mathbb{A}^n_{\mathbb{F}}\to\displaystyle\mathbb{A}^m_{\mathbb{F}}\) si definisce mappa o morfismo regolare se il suo pull-back associato \(\displaystyle\varphi^{*}:f\in\mathbb{F}[x_1,...,x_m]\to f\circ\varphi\in\mathbb{F}[y_1,...,y_n]\) è un omomorfismo di anelli.

Definizione 5. Senza cambiare i nomi dalla definizione 4, \(\displaystyle\varphi\) è un isomorfismo regolare se \(\displaystyle\varphi\) è sia un morfismo regolare che una funzione biettiva, inoltre, la sua funzione inversa \(\displaystyle\varphi^{-1}\) è un morfismo regolare.

Esercizio 5. Senza cambiare i nomi dall'esercizio 4: sia \(\displaystyle n\in\mathbb{N}\) e si consideri la mappa di Frobenius:
\[
F_{p,n}:(x_1,..,x_n)\in\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\to\left(x_1^p,...,x_n^p\right)\in\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}
\]
dello spazio affine \(\displaystyle n\)-dimensionale su \(\displaystyle\mathbb{K}\) con la topologia di Zariski in se stesso.
Dimostrare o confutare che \(\displaystyle F_{n,p}\) è un isomorfismo regolare.

[Epimenide93]

Ci provo.

Esercizio 1

\[
\begin{split}
\epsilon(a + b) &= (a+b) \cdot 1_R = \begin{cases} \begin{matrix} \underbrace{ 1_R+\ldots+1_R}_{a+b} \end{matrix}, & \mbox{se } a+b \geq 0 \\ \begin{matrix} \underbrace{- 1_R - \ldots - 1_R}_{-a-b} \end{matrix}, & \mbox{se }a+b<0
\end{cases} =\\

& \quad \\

&= \begin{matrix} {\rm sgn}(a) \left ( \underbrace{ 1_R+\ldots+1_R}_{\lvert a \rvert} \right ) + {\rm sgn}(b) \left ( \underbrace{ 1_R+\ldots+1_R}_{\lvert b \rvert} \right ) \end{matrix} =\\

& \quad \\

&= a \cdot 1_R + b \cdot 1_R = \epsilon(a) + \epsilon(b) \\

& \quad \\

& \quad \\

\epsilon(1) &= 1 \cdot 1_R = 1_R\\

& \quad \\

& \quad \\

\epsilon(ab) &= (ab) \cdot 1_R = \begin{cases} \begin{matrix} \underbrace{ 1_R+\ldots+1_R}_{ab} \end{matrix}, & \mbox{se } ab \geq 0 \\ \begin{matrix} \underbrace{- 1_R - \ldots - 1_R}_{-ab} \end{matrix}, & \mbox{se }ab<0
\end{cases} =\\

& \quad \\

&= \begin{matrix} {\rm sgn}(a) \sum_{i = 1}^{\lvert a \rvert} {\rm sgn}(b) \left ( \underbrace{ 1_R+\ldots+1_R}_{\lvert b \rvert} \right ) \end{matrix} =\\

& \quad \\

&= {\rm sgn}(a) \lvert a \rvert ( b \cdot 1_R) = a (b \cdot 1_R ) \\

\end{split}
\]

WTP \(\displaystyle a (b \cdot 1_R ) = (a \cdot 1_R) \cdot (b \cdot 1_R) \). Per induzione su \(a\). Se \(a = 1\) è triviale. Sia vero per \(a = n\).

\[
\begin{split}
(n+1)(b \cdot 1_R) &= n(b \cdot 1_R) + 1(b \cdot 1_R) =\\
&= (n \cdot 1_R) \cdot (b \cdot 1_R) + (1 \cdot 1_R) \cdot (b \cdot 1_R) =\\
&=(n \cdot 1_R + 1 \cdot 1_R) \cdot (b \cdot 1_R)=\\
&=((n+1) \cdot 1_R) \cdot (b \cdot 1_r)
\end{split}
\]
che permette di concludere.

Esercizio 2

Sia \((D,+,\cdot)\) dominio di integrità. Dai teoremi di omomorfismo si ha che \(\displaystyle \epsilon(\mathbb{Z}) \) è un sottoanello di \(D\) e che \[ \displaystyle \epsilon( \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} / {\rm Ker}( \epsilon) \] Essendo \(\mathbb{Z}\) un PID, necessariamente \({\rm Ker}(\epsilon) = (n) = n \mathbb{Z}\). Ovvero, \(D\) contiene un sottoanello isomorfo a \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\). Dalla teoria sappiamo che i sottoanelli di un dominio sono dominî e che \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\) è un dominio se e solo se \(n \in \mathbf{P}\) o \(n = 0\).

Esercizio 3

Indico l'elemento unità di \(\mathbb{K}\) con \(1\). Ricordo che per \(j \ne 0, j \ne p\), si ha che \(\displaystyle p \ | \binom{p}{j}\) (ciò discende banalmente dalla definizione di coefficiente binomiale).

\[
\begin{split}
\varphi(ab) &= (ab)^p = a^p b^p\\

& \quad \\

\varphi(a + b) &= (a + b)^p = \sum_{j = 0}^p \binom{p}{j} a^{p-j} b^j =\\
&= a^p + b^p\\
\end{split}
\]

Per definizione
\[
{\rm Ker} ( \varphi) = \{x \in \mathbb{K} \ | \ x^p = 0\}
\]
e dal momento che per ipotesi ci troviamo in un campo, l'unico elemento nilpotente è lo zero dell'anello, ovvero \(\displaystyle {\rm Ker} ( \varphi) = \mathbf{0} \), il che ci permette di concludere anche che \(\varphi\) è iniettiva.

Per il teorema di classificazione dei campi finiti, i campi finiti sono tutti e soli quelli di cardinalità \(p^n\) con \(p \in \mathbf{P}\) e \(n \in \mathbb{N}\), ed indicando con \(\mathbb{F}_{p^n}\) il campo con cardinalità \(p^n\) si ha che \(\mathbb{F}_{p^n}\) è isomorfo al campo di spezzamento del polinomio \(q(x) = x^{p^n} - x\). Dal momento che la derivata formale di \(q\) è \(p^n x^{p^n -1} - 1 = -1\), sappiamo che \(q\) ha solo radici semplici, quindi ha esattamente \(p^n\) radici nel suo campo di spezzamento, il suo campo di spezzamento si dimostra avere \(p^n\) elementi (sempre per il teorema di classificazione dei campi finiti), quindi ogni elemento \(x\) di \(\mathbb{F}_{p^n}\) soddisfa la relazione \(x = x^{p^n}\). Di conseguenza, il morfismo di Frobenius non solo è un automorfismo su \(\mathbb{F}_{p^n}\), ma è proprio l'automorfismo identità.

Esercizio 4

Per l'Esercizio 3, \(\varphi : \mathbb{K} \to \mathbb{K}\) è iniettiva.

Sempre per l'Esercizio 3, nei campi di caratteristica \(p\) si ha che\(\displaystyle (a+b)^p = a^p + b^p \). Tale risultato può essere esteso a somme finite arbitrariamente lunghe scrivendo \[(s_1 + s_2 + s_3 + \ldots + s_n)^p = (s_1 + (s_2 + ( s_3 + \ldots +s_n) \ldots ))^p\] (questo è in realtà lo schema di una facile dimostrazione per induzione che non ho voglia di scrivere per esteso).

Ora, \(\forall \xi \in \mathbb{K}\) esiste il polinomio minimo di \(\xi\) su \(\mathbb{F}_p\). Sia \(a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n = u \in \mathbb{F}_p [X]\) tale polinomio. Si ha:

\[
(u (\xi))^p = (a_0 + a_1\xi + \ldots + a_n \xi ^n)^p = a_0^p + a_1^p \xi^p + \ldots + a_n^p \xi^{np} = u(\xi ^p) = 0
\]
ovvero \(u\) si annulla anche in \(\xi ^p\). Iterando quanto appena fatto si ottiene che \(u\) si annulla su ogni elemento dell'insieme \(\{\xi ^{p^k}, k \in \mathbb{N}\}\). Dal momento che \(u\) può avere al più \(n\) radici, tale insieme dev'essere finito. Ovvero, \(\exists h \in \mathbb{N} : \ \xi ^{p^h} = \xi \Rightarrow \xi = (\xi^{p^{h-1}})^p\), che completa la dimostrazione della suriettività di \(\varphi\).

Esercizio 5

Dal momento che \[F_{p,n}(\sum a \prod x_i^j) = \sum a^p \prod x_i^{jp} \] si ha che \(F_{p,n}\) è chiusa, si ha poi che \[ F_{p,n}^{-1}(\sum a \prod x_i^j) = \sum \varphi^{-1}(a) \prod \varphi^{-1}(x_i^j) \] ovvero è continua e per quanto visto finora è bîettiva (lo è per componenti), quindi è un omeomorfismo.

Si ha che \(F_{p,n}^{*}(p(x_1, \ldots , x_n )) = p(F_{p,n}(x_1, \ldots , x_n)) = p(\varphi(x_1), \ldots , \varphi(x_n))\), risulta quindi facile dimostrare la bîettività della funzione. Che sia un morfismo lo si può verificare brutalmente, ma per oggi ho fatto troppi conti e a guardare questo diagramma:

[tex]\xymatrix{
\mathbb{A}_{\mathbb{K}}^n \ar[d]_{F_{p,n}}\ar[r] & \mathbb{K}[y_1, \ldots , y_n]\\
\mathbb{A}_{\mathbb{K}}^n\ar[r] & \mathbb{K}[x_1, \ldots , x_n]\ar_{F_{p,n} ^*}}[/tex]

nutro il fortissimo sospetto che ci sia un bel funtore controvariante all'opera e che le verifiche esplicite siano superflue (certo dovrei compensare con la verifica della funtorialità in questione, ma il mio per quest'ultimo esercizio è più un atto di fede ).

[j18eos]

Esercizio 1: come lo fai complicato...

Esercizio 3: l'automorfismo di Frobenius non è l'identità dei campi finiti; e non hai calcolato l'immagine dell'endomorfismo di Frobenius!

Esercizio 5: perché la mappa di Frobenius è continua?

Esercizi 2 & 4: nulla da eccepire!

[Epimenide93]

"j18eos":Esercizio 1: come lo fai complicato...

Ho provato a cercare un modo più semplice per dimostrare che è un morfismo moltiplicativo, ma non l'ho trovato. Tu come lo dimostreresti?

"j18eos":Esercizio 5: perché la mappa di Frobenius è continua?

Perché la controimmagine di un polinomio è un polinomio. Non basta?

"j18eos":Esercizio 3: l'automorfismo di Frobenius non è l'identità dei campi finiti; e non hai calcolato l'immagine dell'endomorfismo di Frobenius!

hai ragione. Stasera provo a rimediare.

"j18eos":Esercizi 2 & 4: nulla da eccepire!

Grazie!

[j18eos]

Esercizio 1. Basta ricordare che \(\displaystyle(R,+)\) è un gruppo abeliano!

Esercizio 5. Ma se la mappa di Frobenius è tra spazi affini, non agisce sui polonimi; però, volendo calcolare l'anti-immagine del generico sottoinsieme chiuso del codominio...

[Epimenide93]

"j18eos":Esercizio 1. Basta ricordare che \(\displaystyle(R,+)\) è un gruppo abeliano!

Beh, ma in pratica ho riportato esplicitamente una possibile dimostrazione del fatto che un gruppo abeliano è uno \(\mathbb{Z}\)-modulo senza usarlo come risultato noto. Usarlo direttamente come risultato si può concludere facilmente che \(\epsilon\) è un morfismo additivo e che \(\epsilon(ab) = a(b \cdot 1_R) = b(a \cdot 1_R)\), ma la parte finale (la dimostrazione per induzione) non penso si possa evitare.

"j18eos":Esercizio 5. Ma se la mappa di Frobenius è tra spazi affini, non agisce sui polonimi; però, volendo calcolare l'anti-immagine del generico sottoinsieme chiuso del codominio...

Sì, è vero, l'ho fatto in modo un po' raffazzonato, stasera provo a riscrivere meglio la continuità.

[j18eos]

In attesa che Epimenide93 o qualcun altro\qualcun'altra completi gli esercizi:
[list=a]
[*:2u2ih4cp] il nucleo e l'immagine dell'endomorfismo di Frobenius (meno l'elemento neutro della somma) sono gruppi rispetto alla moltiplicazione?[/*:m:2u2ih4cp]
[*:2u2ih4cp] è bene notare che la chiusura algebrica di un campo perfetto è un campo perfetto.[/*:m:2u2ih4cp][/list:o:2u2ih4cp]

P.S.: I campi di caratteristica \(\displaystyle0\) sono per definizione perfetti!

[ciampax]

@Armando: mi hai riportato alla mente incubi del primo anno di Università, estate 1997... che te possino!

[j18eos]

Fammi indovinare: questo incubo si chiamava esame di algebra?

[ciampax]

"j18eos":Fammi indovinare: questo incubo si chiamava esame di algebra?

Ma sei un genio... ma come hai fatto???? Dì la verità, poteri magici?

[Epimenide93]

Chiedo scusa se rispondo solo ora, ma in questi giorni non avevo a disposizione una tastiera.

Per quel che riguarda le correzioni all'Esercizio 3

L'automorfismo di Frobenius non è l'identità per tutti i campi finiti, ma solo per i campi di ordine primo (per quanto detto nella prima soluzione dell'Esercizio 3). Peri un generico campo finito si ha
\[
{\rm Im}(\varphi) = \{a \in \mathbb{F}_{p^n} \ | \exists b \in \mathbb{F}_{p^n} : b^p = a\}
\]
da
\[
\forall a \in \mathbb{F}_{p^n} : \ a = (a^{p^{n-1}})^p
\]
segue la suriettività della mappa di Frobenius.

Quanto all'Esercizio 5

Un generico chiuso di \(\displaystyle \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^n \) è della forma
\[
\bigcap \{x \in \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^n \ | \ \sum a \prod x_i^j = 0 \}
\]
dove le somme ed i prodotti sono finiti e l'intersezione è arbitraria. Vale:
\[
\begin{split}
F_{p,n}^{-1}(\bigcap \{x \in \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^n \ | \ \sum a \prod x_i^j = 0 \}) &= \bigcap F_{p,n}^{-1}( \{x \in \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^n \ | \ \sum a \prod x_i^j = 0 \}) =\\
\quad \\
&= \bigcap \{x \in \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^n \ | \ \sum \varphi^{-1}(a) \prod \varphi^{-1}(x_i^j) \} \\
\end{split}
\]
ovvero la controimmagine di un chiuso attraverso \(\displaystyle F_{p,n} \) è chiusa.

E sulla parte finale continuo a glissare perché sono troppo pigro per farlo nell'unica maniera in cui so farlo e troppo ignorante per farlo nella maniera elegante che ho intuito

Quanto alla domanda aggiuntiva, l'automorfismo di Frobenius è un isomorfismo di campi, quindi la sua restrizione a \(\displaystyle \mathbb{K}^* \) è un'automorfismo del gruppo moltiplicativo in sé stesso, ovvero il suo nucleo è il gruppo banale e la sua immagine è ancora \(\displaystyle \mathbb{K}^* \).

[j18eos]

Esercizio 3: OK

Esercizio 5: Eh no... Prova a calcolare l'antimmagine di \(\displaystyle(0,-1)\) mediante \(\displaystyle F_{2,2}\)!