La circonferenza come limite di poligoni regolari

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Provare che \[\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 2^{n} \begin{matrix} \underbrace{ \sqrt{ 2 - \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}}_{\text{n radicali}} \end{matrix}=\pi \]

Suggerimento (che banalizza l'esercizio).

Provare che per ogni \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \setminus \{0 \} \) si ha \[\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2^{n+1}} \right) = \begin{matrix} \underbrace{\frac{1}{2} \sqrt{ 2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}}_{\text{n radicali}} \end{matrix} \]
e \[\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2^{n+1}} \right) = \begin{matrix} \underbrace{\frac{1}{2} \sqrt{ 2 - \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}}_{\text{n radicali}} \end{matrix} \]

[theras]

Ciao,Del,ed auguri per l'anno nuovo!
Andiamo al vero oggetto di quella formula,allora,ossia le sue conseguenze geometriche che forse hai in mente d'esporre?
Te lo dico perchè,grazie proprio alla tua prima "formula chiusa"
(dimostrabile per induzione,osservato che quegli angoli sono tutti nel I° ottante,con la formula di bisezione del coseno),
non è difficile provare che la successione,definita per ricorrenza ponendo $a_1=sqrt(2),a_n=sqrt(2+a_(n-1))$ $AAn in NN setminus{1}$,
ha in effetti termine generale $a_n=2"cos"(pi)/(2^(n+1))$;
e si può velocemente dedurre da ciò la tua seconda formula chiusa,
e conseguentemente il limite da te proposto riconducendolo facilmente ad un limite notevole:
allora,per il pò che ti conosco,
ho il sospetto che a breve correderai questo esercizio delle considerazioni davvero interessanti che esso comporta .
Saluti dal web.

[Sk_Anonymous]

La tua soluzione, theras, è corretta.
In effetti, però, come dici, ci sarebbero alcune (poche, in realtà) considerazioni geometriche da farsi per capire bene da dove arrivano quei radicali. Per ora rimando al testo Esercizi di calcolo in una variabile di G. De Marco e C. Mariconda da cui ho pigliato l'esercizio.
Se avrò tempo, in futuro, farò un piccolo sunto.