\( L^1 \not\subset H^{-n/2}\)

[Sk_Anonymous]

Si definisce per \(s \in \mathbb{R} \) lo spazio di Sobolev frazionario \[H^s = H^s (\mathbb{R}^n) = \left\{ u \in \mathcal{S}' \, : \, \int_{\mathbb{R}^n} (1 + |\xi|^2)^s |\hat{u}(\xi)|^2 \, d \xi < \infty \right\} \]ove con \(\mathcal{S}' \) e' indicato lo spazio delle distribuzioni temperate mentre con \(\hat{\cdot} \) indico la trasformata di Fourier. Al solito \[ L^1 (\mathbb{R}^n ) = \left\{f \text{ misurabile} \, : \, \int_{\mathbb{R}^n} |f| \, dx < \infty \right\}. \]

Problema: mostrare che \( L^1 \not\subset H^{-n/2}\).

[dissonance]

IDEA. Sia \(\delta\) la distribuzione di Dirac. Allora "\(\delta\in L^1(\mathbb R^n)\)" (link), ma \(\delta\notin H^{-\frac n 2}(\mathbb R^n)\).

Dimostrazione formale. Occorre trovare una successione \(f_k\) tale che \(\|f_k\|_1\le C\) e \(\|f_k\|_{H^{-\frac n 2} } \to \infty\). Fissata \(f\in \mathcal S\) tale che \(\int_{\mathbb R^n} f(x)\, dx\ne 0\), si definisce
\[
f_k(x):=k^n f(kx).\]
Per costruzione, \(\|f_k\|_1=\|f\|_1\). Siccome \(\hat{f}_k(\xi)= \hat{f} (k^{-1}\xi)\), si ha che \[\| f_k\|_{H^{-\frac n 2}}^2 = \int_{\mathbb R^n} (1+|\xi|^2)^{-n/2} |\hat{f}(k^{-1}\xi)|^2\, d\xi\to |\hat{f}(0)|^2\int_{\mathbb R^n}(1+|\xi|^2)^{-\frac n 2}\, d\xi=+\infty.\]
Qui abbiamo usato il fatto che \(\hat{f}(0)=\int_{\mathbb R^n} f(x)\, dx\).

[Sk_Anonymous]

Esatto. Io l'avevo fatto col teorema del grafico chiuso, sempre partendo dall'idea della \(\delta\).
"Dualmente" si può mostrare che \(H^{n/2} \not\subset L^\infty\).

[dissonance]

Qui sollevi una riflessione secondo me interessante. Abbiamo dimostrato che \(L^1\) non è contenuto in \(H^{-\frac n 2}\) con un esempio molto semplice, la delta di Dirac. Per dualità questo equivale a dimostrare che \(H^\frac{n}{2}\) non è contenuto in \(L^\infty\). La dimostrazione diretta di quest'ultimo fatto in genere usa esempi più complicati. Sull'Evans si mostra che una funzione con un polo di ordine \(\log\log\) è in \(H^{\frac n 2}\) pur non essendo in \(L^\infty\).

Domanda. Esiste un esempio "distribuzionale", più semplice possibile, che mostri come \(H^{\frac n 2}\not\subset L^\infty\)? Tale esempio dovrebbe essere in qualche senso duale al fatto che \(\delta\in L^1\) e \(\delta\notin H^{-\frac n 2}\).

[Sk_Anonymous]

"dissonance":[...] Per dualità questo equivale a dimostrare che \(H^\frac{n}{2}\) non è contenuto in \(L^\infty\). [...]

Pero' aspetta, questo non e' vero in generale (se ho capito bene quello che stai dicendo). Se hai due spazi di Banach \(E \subset F\) potrebbe non darsi \(F^* \hookrightarrow E^*\). Credo ti serva la densita' di \(E\) in \(F\) per avere un'immersione iniettiva.

"dissonance":Domanda. Esiste un esempio "distribuzionale", più semplice possibile, che mostri come \(H^{\frac n 2}\not\subset L^\infty\)? Tale esempio dovrebbe essere in qualche senso duale al fatto che \(\delta\in L^1\) e \(\delta\notin H^{-\frac n 2}\).

Con "dualmente" intendevo esattamente questo. Credo si possa fare, forse giocando un po' con il prodotto scalare di \(H^s\).

[dissonance]

"Delirium":
Pero' aspetta, questo non e' vero in generale (se ho capito bene quello che stai dicendo). Se hai due spazi di Banach \(E \subset F\) potrebbe non darsi \(F^* \hookrightarrow E^*\). Credo ti serva la densita' di \(E\) in \(F\) per avere un'immersione iniettiva.

Si, va bene, ma tanto qui tutte le immersioni sono dense. Non ci perdiamo in quisquilie. Meglio ragionare su questo:

Con "dualmente" intendevo esattamente questo. Credo si possa fare, forse giocando un po' con il prodotto scalare di \(H^s\).

Se ti va, fai qualche conto, anche informale, anzi, meglio se informale. Sono curioso di sapere che aspetto potrebbe avere questa distribuzione in \(H^\frac{n}2\) e non in \(L^\infty\).

[Sk_Anonymous]

Ci ho provato un po' ma non ho ottenuto niente di sensato. C'è un collega dottorando che aveva ottenuto qualcosa di esplicito, domani mi faccio dare qualche suggerimento.

[Sk_Anonymous]

Ok, scrivo quello che ho; e' un argomento di dualita' (uso il pairing tra \(H^{n/2}\) e \(H^{-n/2}\)), ma non so se da questo si possa ottenere qualcosa di esplicito: se supponiamo \(L^\infty \supseteq H^{n/2} \), allora \( \| f\|_{L^\infty} \lesssim \|f\|_{H^{n/2}} \) per il teorema del grafico chiuso (l'immersione e' continua). Allora si ha che, per ogni \(g \in H^{-n/2}\), \[\|g\|_{H^{-n/2}} = \sup_{h \in \mathcal{S}, \, \|h\|_{H^{n/2}}=1} \left| \int_{\mathbb{R}^n} \hat{g}(x) \hat{h}(x) \, dx \right|=\sup_{h \in \mathcal{S}, \, \|h\|_{H^{n/2}}=1} \left| \int_{\mathbb{R}^n} g(x) h(x) \, dx \right| \lesssim \|g\|_{L^1} \|h\|_{L^\infty} \lesssim \|g\|_{L^1}, \]assurdo per quanto hai dimostrato tu.

[LoreT314]

Scusate ma queste cose (bellissime ma per me incomprensibili) a che punto di un cdl in matematica si affrontano?

[Sk_Anonymous]

"LoreT314":Scusate ma queste cose (bellissime ma per me incomprensibili) a che punto di un cdl in matematica si affrontano?

C'e' un po' di tutto; direi teoria degli spazi \(L^p\) e Analisi Funzionale al terzo anno, Teoria delle Distribuzioni (comprensiva di trasformate di Fourier e spazi di Sobolev con esponente "frazionario") alla magistrale. Ma questo esercizio e' preso da un libro avanzato sugli operatori pseudo-differenziali, roba che gli interessati vedono in corsi avanzati della magistrale o di dottorato.