Interpolare polinomio

[fralu2]

Buonasera,
Parliamo di interpolazione polinomiale ..

In una situazione di questo tipo :

\(\displaystyle x0 \) \(\displaystyle x1 \) \(\displaystyle x2 \)
\(\displaystyle y0 \) \(\displaystyle y1 \) \(\displaystyle y2 \)
\(\displaystyle y'0 \) \(\displaystyle y'1 \)

3 punti con i relativi passaggi, e in più su due di essi ho anche la velocità(derivata prima).
Come faccio a costruire il polinomio $p(x)$ di grado minimo che verifichi le condizioni sopra esposte ?

Non so come tener conto della derivata prima.

Grazie in anticipo

[nil1]

Non capisco bene le condizioni... puoi riscriverle più chiaramente?

[fralu2]

cerco di spiegarmi meglio

Ho i miei 3 punti da interpolare che sono :

$ x0 $ $x1$ $x2$

con le relative y

$ y0 $ $y1$ $y2$

quindi $f(x(i)) = yi ; i = 0,1,2$
Spero di essere stato chiaro fin qui.

Con questi dati so interpolare un polinomio, il mio problema è che l'esercizio mi impone anche le condizioni:

$y'0$ $y'1$

Quindi oltre al semplice passaggio, il mio polinomio interpolante deve anche rispettare le condizioni delle derivate.
Spero di essermi spiegato.

Grazie in anticipo,
Saluti

[nil1]

Allora in generale credo dipenda dalle condizioni quale sia il grado minimo... comunque io andrei per un polinomio di grado $4$ che rispetta le condizioni (a patto che siano ben poste).
Infatti si tratta di risolvere il sistema:

$ { ( a(x_0)^4 + b(x_0)^3 + c(x_0)^2 + d(x_0) + e = y_0 ),( a(x_1)^4 + b(x_1)^3 + c(x_1)^2 + d(x_1) + e = y_1 ),( a(x_2)^4 + b(x_2)^3 + c(x_2)^2 + d(x_2) + e = y_2 ),( 4a(x_0)^3 + 3b(x_0)^2 + 2c(x_0) + d = y'_0 ),( 4a(x_1)^3 + 3b(x_1)^2 + 2c(x_1) + d = y'_1 ):} $

o , in altri modi ,

$ [ ( (x_0)^4 , (x_0)^3 , (x_0)^2 , (x_0) , 1 ),( (x_1)^4 , (x_1)^3 , (x_1)^2 , (x_1) , 1 ),( (x_2)^4 , (x_2)^3 , (x_2)^2 , (x_2) , 1 ),( 4(x_0)^3 , 3(x_0)^2 , 2(x_0) , 1 , 0 ),( 4(x_1)^3 , 3(x_1)^2 , 2(x_1) , 1 , 0 ) ] [ ( a ),( b ),( c ),( d ),( e ) ] = [ ( y_0 ),( y_1 ),( y_2 ),( y'_0 ),( y'_1 ) ] $

adesso, i vettori colonna sono linearmente indipendenti? Prova a sostituire i tuoi valori , se sì allora il sistema ha soluzione unica