Interessante disuguaglianza
Questo esercizio è abbastanza tosto. Ci ho pensato un po', ma per ora non ho concluso alcunché.
Siano \(\displaystyle m,n \; \in \mathbb{N} \) tali che \(\displaystyle m\le n \) e siano \(\displaystyle a_{m} \ge a_{m+1} \ge ... \ge a_{n} \ge 0 \) numeri reali. Provare che per ogni \(\displaystyle x \; \in (0,2\pi) \) vale la disuguaglianza \[\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ikx} \right | \le \frac{a_{m}}{\left | \sin(x/2) \right|} \]
Siano \(\displaystyle m,n \; \in \mathbb{N} \) tali che \(\displaystyle m\le n \) e siano \(\displaystyle a_{m} \ge a_{m+1} \ge ... \ge a_{n} \ge 0 \) numeri reali. Provare che per ogni \(\displaystyle x \; \in (0,2\pi) \) vale la disuguaglianza \[\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ikx} \right | \le \frac{a_{m}}{\left | \sin(x/2) \right|} \]
Risposte
Ti voglio solo far notare una cosa; non volendo rovinare il gioco ad altri la metto in spoiler.
Rispondo a j18eos, sempre in spoiler
XD
Cambia approccio e pensa a qualche serie notevole di numeri reali, a cui è simile quella degli esponenziali complessi.
Eureka!
Mi manca però la prima parte. Appena ho un attimo di tempo libero ci penso.
Mi manca però la prima parte. Appena ho un attimo di tempo libero ci penso.
Per dimostrare la tua disuguaglianza, j18eos, avevo pensato di utilizzare la formula della somma per parti. Posto \[\displaystyle A_{n}=\sum_{k=0}^{n} e^{ikx} \]
si ha
\[\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ikx} \right |=\left |A_{n}a_{n} - A_{m-1}a_{m} + \sum_{k=m}^{n-1}A_{k}(a_{k}-a_{k+1}) \right | \le \left |A_{n}a_{n} - A_{m-1}a_{m} \right| + \left |\sum_{k=m}^{n-1}A_{k}(a_{k}-a_{k+1}) \right |\]
Ma poi come posso concludere?
si ha
\[\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ikx} \right |=\left |A_{n}a_{n} - A_{m-1}a_{m} + \sum_{k=m}^{n-1}A_{k}(a_{k}-a_{k+1}) \right | \le \left |A_{n}a_{n} - A_{m-1}a_{m} \right| + \left |\sum_{k=m}^{n-1}A_{k}(a_{k}-a_{k+1}) \right |\]
Ma poi come posso concludere?
Ricordo una formula algebrica molto utile in svariati contesti:
\[a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\ldots+b^n=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\]
valida in presenza di un prodotto commutativo, e quindi senz'altro per \(a, b \in \mathbb{C}\) (naturalmente si intende \(a \ne b\)).
\[a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\ldots+b^n=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\]
valida in presenza di un prodotto commutativo, e quindi senz'altro per \(a, b \in \mathbb{C}\) (naturalmente si intende \(a \ne b\)).
Zero... 
Scrivi per esteso la somma:
\[\sum_{m}^n e^{ikx}=e^{imx}+e^{i(m+1)x}+e^{i(m+2)x}+\ldots+e^{inx}\]
raccogli \(e^{imx}\) e applica la formula di cui sopra con \(a=1, b=e^{ix}\). Infine ricordati la formula di Eulero \(e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\), di cui probabilmente ti servirà la versione inversa:
\[\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin(\theta)=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i}.\]
Metti tutto insieme e dovresti avere qualche gradita sorpresa.
PS: Vedo che hai cambiato di nuovo la frase in firma. Anche questa è decisamente all'altezza delle precedenti.
\[\sum_{m}^n e^{ikx}=e^{imx}+e^{i(m+1)x}+e^{i(m+2)x}+\ldots+e^{inx}\]
raccogli \(e^{imx}\) e applica la formula di cui sopra con \(a=1, b=e^{ix}\). Infine ricordati la formula di Eulero \(e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\), di cui probabilmente ti servirà la versione inversa:
\[\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin(\theta)=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i}.\]
Metti tutto insieme e dovresti avere qualche gradita sorpresa.
PS: Vedo che hai cambiato di nuovo la frase in firma. Anche questa è decisamente all'altezza delle precedenti.
Mmm...
\[\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{m} e^{ixk} \right |=|a_{m} e^{ix} + a_{m+1} e^{i2x} + ... + a_{n} e^{i(n-m)x} |=\]
\[\displaystyle = a_{m}|e^{ix} + \frac{a_{m+1}}{a_{m}}e^{i2x} +...+\frac{a_{n}}{a_{m}}e^{i(n-m)x}| \]
Siccome \(\displaystyle a_{m} \ge a_{m+1} \ge ... \ge a_{n} \ge 0 \), posso concludere che \[\displaystyle \le a_{m}|e^{ix} + e^{i2x} +...+e^{i(n-m)x}| \]?
Non mi suona benissimo, ma non mi viene in mente altro per provare la disuguaglianza di j18eos...
@dissonance: il tuo suggerimento è per la seconda parte? Ma quella è già nello spoiler di un mio post più sopra
\[\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{m} e^{ixk} \right |=|a_{m} e^{ix} + a_{m+1} e^{i2x} + ... + a_{n} e^{i(n-m)x} |=\]
\[\displaystyle = a_{m}|e^{ix} + \frac{a_{m+1}}{a_{m}}e^{i2x} +...+\frac{a_{n}}{a_{m}}e^{i(n-m)x}| \]
Siccome \(\displaystyle a_{m} \ge a_{m+1} \ge ... \ge a_{n} \ge 0 \), posso concludere che \[\displaystyle \le a_{m}|e^{ix} + e^{i2x} +...+e^{i(n-m)x}| \]?
Non mi suona benissimo, ma non mi viene in mente altro per provare la disuguaglianza di j18eos...
@dissonance: il tuo suggerimento è per la seconda parte? Ma quella è già nello spoiler di un mio post più sopra
[mini-OT]
Scusate l'intromissione, ma questa uguaglianza:
non la conoscevo. Ha un suo nome? o è una delle tante.
[/mini-OT]
Scusate l'intromissione, ma questa uguaglianza:
"dissonance":
\[a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\ldots+b^n=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\]
non la conoscevo. Ha un suo nome? o è una delle tante.
[/mini-OT]
@hamming_burst: Quello è un altro modo di scrivere il prodotto notevole:
\[
(x-1)(x^n+x^{n-1}+\cdots +x+1)=x^{n+1}-1
\]
(infatti basta prendere \(x=a/b\) per ottenere l'uguaglianza citata da dissonance), il quale consente di calcolare la formula esplicita per la ridotta \(n\)-esima della serie geometrica, ad esempio.
\[
(x-1)(x^n+x^{n-1}+\cdots +x+1)=x^{n+1}-1
\]
(infatti basta prendere \(x=a/b\) per ottenere l'uguaglianza citata da dissonance), il quale consente di calcolare la formula esplicita per la ridotta \(n\)-esima della serie geometrica, ad esempio.
"gugo82":
@hamming_burst: Quello è un altro modo di scrivere il prodotto notevole:
\[
(x-1)(x^n+x^{n-1}+\cdots +x+1)=x^{n+1}-1
\]
(infatti basta prendere \(x=a/b\) per ottenere l'uguaglianza citata da dissonance), il quale consente di calcolare la formula esplicita per la ridotta \(n\)-esima della serie geometrica, ad esempio.
aah, guarda te da dove esce fuori...
bellina e molto semplice, ti ringrazio gugo
Per quanto riguarda invece l'ultimo mio post...? Non sono troppo sicuro di quello che ho scritto.
Mi sa che il mio suggerimento era inutile...
Poi veramente non ho capito cosa intendesse Armando "j18eos". @Delirium: Il ragionamento che segui nell'ultimo post in effetti è sbagliato, e mi riferisco a
\[1=2 \left\lvert e^{i \pi}+\frac{1}{2}e^{2\pi i} \right\rvert \le 2 \lvert e^{\pi i} + e^{2\pi i}\rvert =0.\]
@Armando: Spiega per favore cosa intendevi con quel suggerimento.
Poi veramente non ho capito cosa intendesse Armando "j18eos". @Delirium: Il ragionamento che segui nell'ultimo post in effetti è sbagliato, e mi riferisco a
"Delirium":Per esempio per \(x=\pi\, n=m+1, a_1=2a_2\) ciò porta alla contraddizione
\[ = a_{m}|e^{ix} + \frac{a_{m+1}}{a_{m}}e^{i2x} +...+\frac{a_{n}}{a_{m}}e^{i(n-m)x}| \le a_{m}|e^{ix} + e^{i2x} +...+e^{i(n-m)x}| \]
\[1=2 \left\lvert e^{i \pi}+\frac{1}{2}e^{2\pi i} \right\rvert \le 2 \lvert e^{\pi i} + e^{2\pi i}\rvert =0.\]
@Armando: Spiega per favore cosa intendevi con quel suggerimento.
Vero; quella disuguaglianza sarebbe verificata solamente se ogni singolo addendo fosse "inserito" in un valore assoluto, in quanto \(\displaystyle |e^{i \theta}|=1 \quad \mbox{con} \quad \theta \in [0,2\pi) \).
Quindi rimane da provare ancora che \(\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ixk} \right | \le a_{m} \left| \sum_{k=m}^{n} e^{ikx} \right | \) (sempre che sia vero). Attendiamo un riscontro da parte di j18eos.
Quindi rimane da provare ancora che \(\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ixk} \right | \le a_{m} \left| \sum_{k=m}^{n} e^{ikx} \right | \) (sempre che sia vero). Attendiamo un riscontro da parte di j18eos.
Ci sono!
\[\displaystyle \sum_{n=1}^{N} a_{n} b_{n}=a_{N}B_{N} + \sum_{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n+1} - a_{n}) \]
ove
\[\displaystyle B_{n}=\sum_{k=m}^{n} e^{ikx}=e^{imx} \sum_{k=0}^{n-m} e^{ikx}=e^{imx} \frac{1-e^{n-m+1}}{1-e^{ix}} \]
Quindi si ha
\[\displaystyle \left| \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ikx} \right | \le a_{n}|B_{n}| + \sum_{k=m}^{n-1} |B_{k}| (a_{k} - a_{k+1}) \]
\[\displaystyle = a_{n} \frac{|e^{imx} - e^{i(n+1)x}|}{|1-e^{ix}|} + \sum_{k=m}^{n-1}(a_{k} - a_{k+1}) \frac{|e^{ikx} - e^{i(k+1)x}|}{|1-e^{ix}|} \le \]
\[\displaystyle \frac{2a_{n}}{|1-e^{ix}|} + \frac{2}{|1-e^{ix}|} \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k} - a_{k+1}) = \]
\[\displaystyle \frac{2a_{n}}{|1-e^{ix}|} + \frac{2}{|1-e^{ix}|}(a_{m} - a_{n}) = \frac{2a_{m}}{|1-e^{ix}|} \]
Il resto l'ho dimostrato più sopra.
\[\displaystyle \sum_{n=1}^{N} a_{n} b_{n}=a_{N}B_{N} + \sum_{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n+1} - a_{n}) \]
ove
\[\displaystyle B_{n}=\sum_{k=m}^{n} e^{ikx}=e^{imx} \sum_{k=0}^{n-m} e^{ikx}=e^{imx} \frac{1-e^{n-m+1}}{1-e^{ix}} \]
Quindi si ha
\[\displaystyle \left| \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ikx} \right | \le a_{n}|B_{n}| + \sum_{k=m}^{n-1} |B_{k}| (a_{k} - a_{k+1}) \]
\[\displaystyle = a_{n} \frac{|e^{imx} - e^{i(n+1)x}|}{|1-e^{ix}|} + \sum_{k=m}^{n-1}(a_{k} - a_{k+1}) \frac{|e^{ikx} - e^{i(k+1)x}|}{|1-e^{ix}|} \le \]
\[\displaystyle \frac{2a_{n}}{|1-e^{ix}|} + \frac{2}{|1-e^{ix}|} \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k} - a_{k+1}) = \]
\[\displaystyle \frac{2a_{n}}{|1-e^{ix}|} + \frac{2}{|1-e^{ix}|}(a_{m} - a_{n}) = \frac{2a_{m}}{|1-e^{ix}|} \]
Il resto l'ho dimostrato più sopra.
"dissonance":Il mio è stato un suggerimento euristico; forse non li si è capito bene dall'incipit, ovvero:
...@Armando: Spiega per favore cosa intendevi con quel suggerimento.
"j18eos":non che abbia dimostrato quella diseguaglianza; anzi, l'ha dimostrata Delirium nel suo ultimo post!
Ammesso che tu riesca a dimostrare...
Io ho suggerito una strada; esattamente questa: ammesso che quella diseguaglianza (che ho indicato) sia vera allora basta utilizzare la somma della serie geometrica di ragione \(|q|<1\) per concludere!
@Delirium C'è una \(b_n\) clandestina!
@Armando: Te pozzino... Pareva che avessi in mano il problema e invece era la prima cosa che ti passava per la testa. Però, cerca di evitare queste situazioni. Tu spessissimo hai scritto post di getto, con convinzione, e tali post si sono rivelati inconsistenti o, peggio, sbagliati. Questo porta nella migliore delle ipotesti a inquinare i thread con interventi superflui e nella peggiore a confondere le idee agli altri utenti.
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